Correlaciones que ninguna variable oculta explica

En 1935 Einstein, Podolsky y Rosen publicaron un artículo según el cual la mecánica cuántica tenía que estar incompleta: predecía correlaciones perfectas entre partículas lejanas que, pensaban, solo podían explicarse con propiedades ocultas fijadas de antemano. Ese mismo año Schrödinger le dio nombre al fenómeno, Verschränkung, entrelazamiento, y lo llamó «el rasgo característico de la mecánica cuántica». Hicieron falta treinta años para que John Bell demostrara que la cuestión se podía zanjar con un experimento.

§Sistemas compuestos: el producto tensorial

Las dimensiones se multiplican: $n$ qubits viven en ${ℂ}^{2^n}$. Para describir 300 qubits harían falta más amplitudes que átomos hay en el universo observable. Este crecimiento exponencial es a la vez la dificultad de simular sistemas cuánticos y, como señaló Feynman en 1981, el motivo para construir un ordenador que sea él mismo cuántico.

§Producto o entrelazado

Un estado es producto si se puede escribir como $|a⟩\otimes |b⟩$: cada qubit tiene su propio estado. Si no, está entrelazado.

Demostración

Ordenemos las amplitudes como una matriz $C=\left(\begin{array}{cc}{c}_{00}& c_{01}\\ c_{10}& c_{11}\end{array}\right)$. El estado es $|a⟩\otimes |b⟩$ exactamente cuando $c_{ij}=a_i{b}_j$, es decir, cuando $C=𝐚{𝐛}^{\top }$ tiene rango 1. Una matriz de $2\times 2$ no nula tiene rango 1 si y solo si su determinante es cero.

Los cuatro estados de Bell son el ejemplo canónico de entrelazamiento máximo. Para $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ el determinante vale $\frac{1}{2}\ne 0$:

Al medir el primer qubit de $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ sale 0 o 1 al azar, pero el segundo da siempre lo mismo. Cada qubit, por separado, es una moneda perfecta; juntos están perfectamente correlacionados.

Demostración

Es la descomposición en valores singulares de la matriz de amplitudes $C$: $C=U\mathrm{\Sigma }{V}^{\top }$ da $|\psi ⟩=\sum _k{\sigma }_k(U{𝐞}_k)\otimes (V{𝐞}_k)$, con ${\lambda }_k={\sigma }_k^2$. La normalización de $|\psi ⟩$ es $\sum _k{\sigma }_k^2=1$.

Los números ${\lambda }_k$ miden el entrelazamiento. Su entropía de Shannon, $E=-\sum _k{\lambda }_k{\log }_2{\lambda }_k$, es la entropía de entrelazamiento: 0 para los estados producto y 1 bit para los estados de Bell. Equivalentemente, el estado de cada qubit por separado (su matriz densidad reducida) solo es puro para los estados producto; para los estados de Bell es el centro de la bola de Bloch.

§El teorema de Bell

¿Podrían explicarse las correlaciones de $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ con instrucciones que las dos partículas llevan desde el principio, como un par de guantes separados en dos cajas? En 1964 John Bell demostró que toda teoría de ese tipo cumple una desigualdad que la mecánica cuántica viola. La versión más útil es de Clauser, Horne, Shimony y Holt (1969).

Alicia elige entre dos medidas $A_0,A_1$, y Bob entre $B_0,B_1$; cada una da $\pm 1$. Definimos la correlación $E(x,y)$ como la media del producto de sus resultados, y

Demostración

Para un $\lambda$ fijo, los resultados son números $a_0,a_1,b_0,b_1\in \{-1,+1\}$, y

$$a_0(b_0+b_1)+a_1(b_0-b_1).$$

Uno de los paréntesis vale 0 y el otro $\pm 2$, así que la expresión vale $\pm 2$. Promediando sobre $\lambda$ se obtiene un valor en $[-2,2]$.

Con el estado $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ de dos fotones y polarizadores a ángulos $\alpha$ y $\beta$, la mecánica cuántica predice $E=\cos 2(\alpha -\beta )$. Eligiendo ${\alpha }_0=0°$, ${\alpha }_1=45°$, ${\beta }_0=22,5°$, ${\beta }_1=-22,5°$:

Los experimentos de Alain Aspect en Orsay (1982) confirmaron la violación, y en 2015 tres grupos (Delft, Viena y Boulder) cerraron a la vez las últimas grandes lagunas. Aspect, John Clauser y Anton Zeilinger recibieron el Nobel de Física de 2022. La naturaleza no admite una descripción local con variables ocultas.

El entrelazamiento es un recurso. Con un par de Bell y dos bits clásicos se puede trasladar un qubit desconocido de un lugar a otro: es la teleportación cuántica (Bennett et al., 1993; primer experimento en Innsbruck, 1997). Y, como veremos, todo algoritmo cuántico con una aceleración exponencial necesita crear mucho entrelazamiento: un ordenador cuyos qubits permanecen siempre en estados producto se puede simular eficientemente con uno clásico.

§Referencias

1. A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen (1935). «Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?». Physical Review, 47.
2. E. Schrödinger (1935). «Discussion of Probability Relations between Separated Systems». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31(4).
3. J. S. Bell (1964). «On the Einstein Podolsky Rosen Paradox». Physics, 1(3).
4. J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony y R. A. Holt (1969). «Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories». Physical Review Letters, 23(15).
5. B. S. Cirel'son (1980). «Quantum generalizations of Bell's inequality». Letters in Mathematical Physics, 4(2).
6. A. Aspect, J. Dalibard y G. Roger (1982). «Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers». Physical Review Letters, 49(25).
7. C. H. Bennett et al. (1993). «Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels». Physical Review Letters, 70(13).
8. B. Hensen et al. (2015). «Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres». Nature, 526.