Interferencia: Amplitudes que se anulan

En 1801 Thomas Young hizo pasar luz por dos rendijas estrechas y vio en la pared un patrón de franjas claras y oscuras: donde las ondas llegaban en fase se reforzaban, y donde llegaban desfasadas se anulaban. En 1989 el equipo de Akira Tonomura, en Hitachi, repitió el experimento disparando electrones de uno en uno. Cada uno dejaba un único punto en la pantalla, pero tras miles de ellos aparecían las mismas franjas. Cada electrón se comporta como si pasara por las dos rendijas e interfiriera consigo mismo.

La evolución es lineal y unitaria

Entre medidas, un sistema cuántico cerrado evoluciona según la ecuación de Schrödinger (1926), $i ℏ \frac{d}{d t} | ψ ⟩ = H | ψ ⟩$ . Su solución es $| ψ (t) ⟩ = U (t) | ψ (0) ⟩$ con $U (t) = e^{- i H t / ℏ}$ , una aplicación lineal que conserva la norma.

Postulado (evolución)

La evolución de un sistema cerrado durante un intervalo de tiempo viene dada por una matriz unitaria $U$ , es decir, una con $U^{†} U = I$ :

| ψ ⟩ \mapsto U | ψ ⟩ .

La linealidad es el principio de superposición: si $| ψ_{1} ⟩$ y $| ψ_{2} ⟩$ son estados posibles, también lo es cualquier combinación normalizada de ellos, y $U$ actúa sobre cada parte por separado. La unitariedad garantiza que las probabilidades sigan sumando 1, y que toda evolución se pueda deshacer con $U^{†}$ : es la versión cuántica de la computación reversible.

El término de interferencia

Supongamos que a un resultado se puede llegar por dos caminos, con amplitudes $a$ y $b$ . La mecánica cuántica suma las amplitudes y solo después eleva al cuadrado:

| a + b |^{2} = \underset{clásico}{\underset{⏟}{| a |^{2} + | b |^{2}}} + \underset{interferencia}{\underset{⏟}{2 Re (\overline{a} b)}} .

El último término puede ser positivo (interferencia constructiva) o negativo (destructiva). Si $b = - a$ , el resultado se vuelve imposible aunque cada camino, por sí solo, llegaría a él. Richard Feynman convirtió esta regla en el punto de partida de su formulación de la mecánica cuántica (1948): la amplitud de un proceso es la suma sobre todos los caminos del producto de las amplitudes a lo largo de cada camino.

Proposición (las probabilidades clásicas nunca se anulan)

Si $S_{1}, \dots, S_{k}$ son matrices estocásticas, la probabilidad de llegar a un resultado es una suma, sobre caminos, de productos de números no negativos. Añadir un camino nuevo solo puede aumentarla.

Esta es toda la diferencia. Un algoritmo aleatorio solo puede acumular probabilidad en las respuestas buenas; un algoritmo cuántico puede, además, quitar probabilidad a las malas haciendo que sus caminos se anulen entre sí.

Una moneda cuántica

La puerta de Hadamard es la versión cuántica de lanzar una moneda:

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}), H | 0 ⟩ = | + ⟩ = \frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}}, H | 1 ⟩ = | - ⟩ = \frac{| 0 ⟩ - | 1 ⟩}{\sqrt{2}} .

Aplicada a $| 0 ⟩$ da una superposición al 50 %. Una moneda aleatoria clásica aplicada dos veces sigue dando 50 %. La moneda cuántica aplicada dos veces devuelve exactamente el estado inicial.

Proposición (

H^{2} = I

)

H H | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (H | 0 ⟩ + H | 1 ⟩) = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩ + | 0 ⟩ - | 1 ⟩) = | 0 ⟩ .

Los dos caminos que llevan a $| 1 ⟩$ tienen amplitudes $+ \frac{1}{2}$ y $- \frac{1}{2}$ y se anulan; los dos que llevan a $| 0 ⟩$ se suman. El azar de la primera moneda no era ignorancia sobre un resultado oculto: era una superposición, y las superposiciones se pueden deshacer.

El interferómetro de Mach-Zehnder

El mismo circuito se puede construir con luz: un divisor de haz (que actúa como $H$ ), dos brazos y un segundo divisor. Si un brazo añade un retraso de fase $φ$ , el circuito es $H \cdot P (φ) \cdot H$ , con $P (φ) = diag (1, e^{i φ})$ .

Proposición (interferómetro)

Partiendo de $| 0 ⟩$ , la salida de $H P (φ) H$ se detecta en 0 con probabilidad

P (0) = {| \frac{1 + e^{i φ}}{2} |}^{2} = \cos^{2} \frac{φ}{2} .

Cada salida recibe dos contribuciones, una por brazo. Las flechas muestran las dos amplitudes como números complejos y su suma. Con

φ = 0

se refuerzan en el detector 0 y se anulan en el 1; con

φ = π

ocurre lo contrario. La partícula nunca se divide: en cada disparo salta exactamente un detector, pero las probabilidades siguen la interferencia.

Paseos cuánticos

La interferencia tiene efectos llamativos incluso en procesos sencillos. En un paseo aleatorio clásico, un caminante lanza una moneda en cada paso y se mueve a la izquierda o a la derecha: tras $t$ pasos, su distancia típica al origen crece como $\sqrt{t}$ , por el teorema central del límite. En un paseo cuántico (Aharonov, Davidovich y Zagury, 1993; Ambainis et al., 2001) la moneda es un qubit, se le aplica la puerta de Hadamard y el caminante se mueve a izquierda o derecha en superposición según la moneda.

Distribución de la posición tras

t

pasos. El paseo clásico (gris) es la conocida campana, de anchura

\sqrt{t}

. El cuántico (color) tiene una forma irregular con dos picos que se alejan a velocidad constante: su dispersión crece como

t

, cuadráticamente más deprisa. Los caminos que vuelven al centro se anulan entre sí.

Teorema (dispersión balística; Ambainis et al., 2001)

Para el paseo de Hadamard en la recta, la desviación típica de la posición tras $t$ pasos crece linealmente, $σ_{t} = Θ (t)$ , mientras que en el paseo aleatorio clásico $σ_{t} = \sqrt{t}$ .

Esta diferencia cuadrática es la misma que aparecerá en el algoritmo de Grover, y los paseos cuánticos son la base de varios algoritmos con aceleraciones exponenciales para problemas sobre grafos. La lección general: un ordenador cuántico no prueba todas las respuestas a la vez. Coreografía la interferencia para que los caminos hacia las respuestas equivocadas se anulen.

Referencias

T. Young (1804). «The Bakerian Lecture: Experiments and Calculations Relative to Physical Optics». Philosophical Transactions of the Royal Society, 94.
R. P. Feynman (1948). «Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics». Reviews of Modern Physics, 20(2).
A. Tonomura et al. (1989). «Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern». American Journal of Physics, 57(2).
Y. Aharonov, L. Davidovich y N. Zagury (1993). «Quantum random walks». Physical Review A, 48(2).
A. Ambainis, E. Bach, A. Nayak, A. Vishwanath y J. Watrous (2001). «One-dimensional quantum walks». STOC.

§La evolución es lineal y unitaria

§El término de interferencia

§Una moneda cuántica

§El interferómetro de Mach-Zehnder

§Paseos cuánticos