Medida: Preguntar cambia la respuesta

En 1922 Otto Stern y Walther Gerlach dispararon átomos de plata a través de un campo magnético no uniforme en Fráncfort. Según la física clásica, los pequeños momentos magnéticos de los átomos debían desviarse en cualquier cantidad y dejar una mancha alargada. En cambio, en la placa de vidrio aparecieron dos manchas separadas: la magnitud medida, el espín, solo tomaba dos valores. Fue la primera medida de un qubit.

Observables y teorema espectral

En mecánica cuántica, cada magnitud medible (un observable) se representa con una matriz hermítica: $A = A^{†}$ . Los resultados posibles al medirla son sus valores propios. Que esto tenga sentido lo garantiza uno de los teoremas centrales del álgebra lineal.

Teorema (teorema espectral, caso hermítico)

Si $A \in ℂ^{d \times d}$ es hermítica, sus valores propios $λ_{1}, \dots, λ_{d}$ son reales y existe una base ortonormal ${| e_{i} ⟩}$ de vectores propios, de modo que

A = \sum_{i = 1}^{d} λ_{i} | e_{i} ⟩ ⟨ e_{i} | .

Demostración de los dos hechos clave

Valores propios reales. Si $A | v ⟩ = λ | v ⟩$ con $| v ⟩ \neq 0$ , entonces $λ ⟨ v | v ⟩ = ⟨ v | A | v ⟩ = ⟨ v | A^{†} | v ⟩ = \overline{λ} ⟨ v | v ⟩$ , así que $λ = \overline{λ}$ .

Vectores propios ortogonales. Si $A | u ⟩ = μ | u ⟩$ y $A | v ⟩ = λ | v ⟩$ con $μ \neq λ$ , entonces $μ ⟨ u | v ⟩ = ⟨ u | A | v ⟩ = λ ⟨ u | v ⟩$ , luego $⟨ u | v ⟩ = 0$ . La completitud (que haya $d$ ) se obtiene por inducción: el complemento ortogonal de un vector propio es invariante por $A$ .

Postulado (medida proyectiva)

Al medir el observable $A = \sum_{i} λ_{i} | e_{i} ⟩ ⟨ e_{i} |$ sobre el estado $| ψ ⟩$ se obtiene el resultado $λ_{i}$ con probabilidad $| ⟨ e_{i} | ψ ⟩ |^{2}$ , y el sistema queda en el estado $| e_{i} ⟩$ . El valor medio es

⟨ A ⟩ = \sum_{i} λ_{i} | ⟨ e_{i} | ψ ⟩ |^{2} = ⟨ ψ | A | ψ ⟩ .

Para un qubit, los tres observables básicos son las matrices de Pauli, que miden el espín según los tres ejes de la esfera de Bloch:

X = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), Y = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), Z = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

Las tres tienen valores propios $\pm 1$ . Y para un estado con vector de Bloch $𝐫$ , los valores medios son exactamente sus coordenadas: $⟨ X ⟩ = r_{x}$ , $⟨ Y ⟩ = r_{y}$ , $⟨ Z ⟩ = r_{z}$ .

Medidas sucesivas

Una cadena de analizadores de Stern-Gerlach. El primero se queda con los átomos que salen «arriba» según su eje; el segundo y el tercero miden según los ángulos que elijas. Medir según

z

, luego

x

y otra vez

z

no devuelve la certeza original: medir

x

borró la información sobre

z

. La probabilidad de atravesar un analizador girado un ángulo

θ

respecto al anterior es

\cos^{2} (θ / 2)

La relación de incertidumbre

Dos observables que no conmutan no pueden tener a la vez valores nítidos. En 1927 Werner Heisenberg lo enunció para la posición y el momento; en 1929 Howard Robertson demostró la versión general, que se sigue directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Teorema (Robertson, 1929)

Para $A$ , $B$ hermíticas y todo estado $| ψ ⟩$ , con $σ_{A}^{2} = ⟨ A^{2} ⟩ - ⟨ A ⟩^{2}$ ,

σ_{A} σ_{B} \geq \frac{1}{2} | ⟨ ψ | [A, B] | ψ ⟩ |, [A, B] = A B - B A .

Demostración

Sean $| f ⟩ = (A - ⟨ A ⟩) | ψ ⟩$ y $| g ⟩ = (B - ⟨ B ⟩) | ψ ⟩$ , de modo que $⟨ f | f ⟩ = σ_{A}^{2}$ y $⟨ g | g ⟩ = σ_{B}^{2}$ . Por Cauchy-Schwarz, $σ_{A}^{2} σ_{B}^{2} \geq | ⟨ f | g ⟩ |^{2} \geq (Im ⟨ f | g ⟩)^{2}$ . Además $⟨ f | g ⟩ - ⟨ g | f ⟩ = ⟨ ψ | [A, B] | ψ ⟩$ , y $⟨ f | g ⟩ - \overline{⟨ f | g ⟩} = 2 i Im ⟨ f | g ⟩$ . Combinando ambas sale la desigualdad.

Para las matrices de Pauli, $[X, Z] = - 2 i Y$ , así que $σ_{X} σ_{Z} \geq | ⟨ Y ⟩ |$ . La incertidumbre no es una limitación de nuestros instrumentos: es una propiedad de los propios vectores.

Estados mezcla

A veces no sabemos en qué estado puro está un sistema: con probabilidad $p_{k}$ está en $| ψ_{k} ⟩$ . En 1927 von Neumann propuso describir esa situación con una matriz densidad:

ρ = \sum_{k} p_{k} | ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} |, ρ ⪰ 0, Tr ρ = 1, P (i) = ⟨ e_{i} | ρ | e_{i} ⟩ .

Para un qubit, toda matriz densidad tiene la forma $ρ = \frac{1}{2} (I + r_{x} X + r_{y} Y + r_{z} Z)$ con $‖ 𝐫 ‖ \leq 1$ : los estados mezcla llenan el interior de la esfera (la bola de Bloch), y el centro es el estado máximamente mezclado, una moneda justa. Dos mezclas muy distintas pueden tener la misma $ρ$ y, entonces, ser indistinguibles con cualquier medida. Las matrices densidad serán esenciales para describir el ruido y la decoherencia.

Un qubit no se puede copiar

Copiar un bit clásico es trivial. Copiar un qubit desconocido es imposible, un hecho que William Wootters y Wojciech Zurek, e independientemente Dennis Dieks, demostraron en 1982 en pocas líneas.

Teorema (no clonación)

Demostración

Supongamos que funciona para $| ψ ⟩$ y $| ϕ ⟩$ . Los unitarios conservan el producto interior, así que $⟨ ϕ | ψ ⟩ ⟨ s | s ⟩ = {⟨ ϕ | ψ ⟩}^{2}$ , es decir, $⟨ ϕ | ψ ⟩ = {⟨ ϕ | ψ ⟩}^{2}$ . Entonces $⟨ ϕ | ψ ⟩$ vale 0 o 1: la máquina solo puede copiar estados iguales u ortogonales, nunca estados arbitrarios.

La no clonación es una limitación (no hay copias de seguridad, lo que complica la corrección de errores) y una oportunidad: un espía no puede copiar qubits sin perturbarlos, la base de la criptografía cuántica (BB84, Bennett y Brassard, 1984). Y es coherente con la cota de Holevo: si se pudieran clonar amplitudes, un qubit se podría copiar muchas veces y medir una y otra vez para extraerlas.

Referencias

W. Gerlach y O. Stern (1922). «Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld». Zeitschrift für Physik, 9.
W. Heisenberg (1927). «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik». Zeitschrift für Physik, 43.
H. P. Robertson (1929). «The Uncertainty Principle». Physical Review, 34.
W. K. Wootters y W. H. Zurek (1982). «A single quantum cannot be cloned». Nature, 299.
D. Dieks (1982). «Communication by EPR devices». Physics Letters A, 92(6).
C. H. Bennett y G. Brassard (1984). «Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing». Proceedings of IEEE ICCSSP.

§Observables y teorema espectral

§Medidas sucesivas

§La relación de incertidumbre

§Estados mezcla

§Un qubit no se puede copiar