Introducción

¿Qué hace distinto a un ordenador cuántico?

No que «pruebe todas las respuestas a la vez». Un ordenador cuántico manipula vectores de amplitudes complejas y las hace interferir, de modo que los caminos hacia las respuestas equivocadas se anulen. Esta web construye esa idea desde cero, teorema a teorema: del bit clásico al algoritmo de Shor y la corrección de errores.

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De 0 y 1 a la superposición

Un bit clásico es un punto en uno de los dos extremos de un segmento. Un qubit es un punto en cualquier lugar de una esfera. Entre ambos hay un único cambio matemático: las probabilidades, que suman 1 en la norma 1, se sustituyen por amplitudes, cuyos cuadrados suman 1 en la norma 2. Todo lo demás (la interferencia, el entrelazamiento, los algoritmos cuánticos y la dificultad de construir las máquinas) se sigue de ese cambio y del álgebra lineal. Esta es la cadena:

1. 00 Bit 1937 – 1980 De bits a vectores Antes del qubit estuvo el bit. Reescribir la computación clásica como álgebra lineal (bits como vectores, puertas lógicas como matrices, el azar como vectores de probabilidad) revela exactamente qué cambia la mecánica cuántica: una norma por otra.
   • Universalidad de NAND
   • Principio de Landauer
   • Universalidad reversible (Toffoli)
   • Isometrías de ${\ell }_p$
2. 01 Qubit 1900 – 1973 Un vector unitario en un espacio complejo Un qubit no es «0 y 1 a la vez». Es un vector unitario de ${ℂ}^2$, cuyas componentes son amplitudes complejas; los cuadrados de sus módulos dan las probabilidades de cada resultado. Geométricamente, todo qubit es un punto de una esfera.
   • Regla de Born
   • Invisibilidad de la fase global
   • Esfera de Bloch
   • Cota de Holevo
3. 02 Superposición 1801 – 2001 Amplitudes que se anulan Las probabilidades solo se suman; las amplitudes pueden anularse. Esa única diferencia, la interferencia, es el origen de toda ventaja cuántica. Una moneda lanzada dos veces sigue siendo aleatoria; una «moneda cuántica» lanzada dos veces da una respuesta segura.
   • Linealidad y unitariedad
   • Término de interferencia
   • Hadamard al cuadrado es la identidad
   • Interferómetro de Mach-Zehnder
4. 03 Medida 1922 – 1982 Preguntar cambia la respuesta Medir es el único momento en que un ordenador cuántico entrega información clásica, y el único paso no reversible. Los observables son matrices hermíticas, los resultados son sus valores propios y dos preguntas incompatibles no pueden tener a la vez respuestas nítidas.
   • Teorema espectral
   • Relación de incertidumbre de Robertson
   • Matrices densidad
   • Teorema de no clonación
5. 04 Entrelazamiento 1935 – 2022 Correlaciones que ninguna variable oculta explica Dos qubits no viven en un plano sino en un espacio de dimensión cuatro construido con el producto tensorial, y la mayoría de sus estados no se pueden describir qubit a qubit. Einstein lo llamó «acción fantasmal a distancia»; Bell lo convirtió en una desigualdad que los experimentos violan.
   • Criterio de estado producto
   • Descomposición de Schmidt
   • Desigualdad CHSH
   • Cota de Tsirelson
   • No señalización
6. 05 Circuitos 1985 – 1998 Programar con matrices unitarias Una puerta cuántica es una matriz unitaria y un circuito es un producto de ellas. Unas pocas puertas bastan para aproximar cualquier cálculo, y algunos circuitos de aspecto muy potente se pueden simular de forma clásica. La frontera entre unos y otros es la teoría de la complejidad cuántica.
   • Caracterización de los unitarios
   • Descomposición de Euler (ZYZ)
   • Universalidad de CNOT + 1 qubit
   • Solovay-Kitaev
   • Gottesman-Knill
7. 06 Fourier 1807 – 1998 Encontrar periodos ocultos Fourier nos enseñó a descomponer cualquier señal en frecuencias. Su versión cuántica actúa sobre $2^n$ amplitudes con solo unas $n^2$ puertas, exponencialmente menos que el algoritmo clásico rápido. Junto con la interferencia, convierte la periodicidad oculta en picos que se pueden medir.
   • Unitariedad de la QFT
   • Representación como producto
   • Transformada de estados periódicos
   • Estimación de fase
8. 07 Shor 300 a. C. – 2025 Factorizar encontrando un periodo La seguridad de buena parte de internet descansa en una suposición: que factorizar números grandes es difícil. En 1994 Peter Shor demostró que un ordenador cuántico podría hacerlo en tiempo polinómico, convirtiendo la factorización en buscar el periodo de una función, y el periodo en un pico de Fourier.
   • Teorema de Euler
   • Reducción de factorizar a calcular órdenes
   • Cálculo cuántico del orden
   • Teorema de Legendre (fracciones continuas)
9. 08 Grover 1996 – 2002 Buscar con rotaciones Para encontrar un elemento marcado entre $N$ sin ninguna estructura que ayude, cualquier algoritmo clásico necesita unos $N$ intentos. Lov Grover encontró un algoritmo cuántico que necesita solo unos $\sqrt{N}$, girando un vector poco a poco en un plano de dos dimensiones. Y está demostrado que no se puede hacer mejor.
   • Dos reflexiones forman una rotación
   • Número óptimo de iteraciones
   • Cota inferior $\mathrm{\Omega }(\sqrt{N})$ (BBBV)
   • Amplificación de amplitud
10. 09 Corrección 1995 – 2024 Proteger lo que no se puede copiar Los qubits son frágiles: cualquier interacción con el entorno degrada sus superposiciones. Durante años pareció imposible protegerlos, porque no se pueden copiar ni mirar. Los códigos cuánticos de corrección de errores y el teorema del umbral mostraron cómo hacerlo, y en 2024 un experimento cruzó el umbral por primera vez.
    • Representación de Kraus
    • Discretización de los errores
    • Condiciones de Knill-Laflamme
    • Teorema del umbral

Conceptos y sus matemáticas

La computación cuántica mezcla matemáticas, física e informática. Esta tabla resume qué rama de las matemáticas sostiene cada concepto:

Cómo leer esta web

El peso está en la teoría matemática: cada capítulo enuncia sus resultados como teoremas, y la mayoría llevan su demostración, plegada para no interrumpir la lectura. El único requisito de verdad es el álgebra lineal (vectores, matrices, valores propios); la web hermana Math of AI le dedica un capítulo. Las figuras son interactivas y simulan los estados cuánticos de forma exacta en tu navegador, sin servidores ni rastreadores.

Capítulo 00: De bits a vectores →