Simulación · Calculus × Computing

01
Derivada
$f'(a)$ es la tasa de cambio instantánea de $f$ en $a$ : la pendiente de la recta tangente a la gráfica, definida como el límite de las pendientes de las rectas secantes.
FundamentalDerivadas
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02
Integral definida
$\int_a^b f(x)\,\dd x$ es el límite de las sumas de Riemann: el área con signo entre la gráfica y el eje o, más en general, el total acumulado por una tasa $f$ en $[a, b]$ .
FundamentalIntegrales
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03
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
Una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas, $y' = f(t, y)$ . Sus soluciones son trayectorias: dado dónde empiezas, la ecuación dice adónde vas después; el modelo matemático de todo lo que evoluciona en el tiempo.
UniversitarioEcuaciones diferenciales
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04
Método de Euler
El resolvedor numérico de EDO más sencillo: seguir la tangente durante un paso de tiempo pequeño, $y_{k+1} = y_k + h\,f(t_k, y_k)$ . De primer orden (error $O(h)$ ), fácil de desestabilizar y, en su forma semiimplícita, el integrador por defecto de la física de videojuegos.
UniversitarioEcuaciones diferenciales
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05
Métodos de Runge–Kutta
Muestrear la pendiente en varios puntos dentro del paso y combinarlas para cancelar términos de error. El RK4 clásico tiene error $O(h^4)$ : con la mitad de paso, el error se divide entre 16. Los pares adaptativos (Dormand–Prince, ode45, solve_ivp) ajustan $h$ automáticamente.
AvanzadoEcuaciones diferenciales
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06
Sistemas de EDO
Varias incógnitas acopladas, $\mathbf x' = F(\mathbf x)$ . Para sistemas lineales $\mathbf x' = A\mathbf x$ la solución es $e^{At}\mathbf x_0$ y los valores propios de $A$ deciden el crecimiento, el decaimiento y la oscilación.
UniversitarioEcuaciones diferenciales
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07
Sistemas dinámicos
Un estado y una regla que lo hace avanzar: continua ( $\dot x = f(x)$ ) o discreta ( $x_{k+1} = g(x_k)$ ). Las preguntas pasan de «encontrar la fórmula» a «¿qué pasa a largo plazo?», y todo algoritmo iterativo, del descenso de gradiente a una red recurrente, es un sistema dinámico discreto.
AvanzadoSistemas dinámicos y caos
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08
Puntos de equilibrio y estabilidad
Un equilibrio $f(x^\ast) = 0$ es estable si los estados cercanos siguen cerca (y asintóticamente estable si vuelven). Se linealiza: si todos los valores propios de la jacobiana $J_f(x^\ast)$ tienen parte real negativa, es asintóticamente estable.
AvanzadoSistemas dinámicos y caos
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09
Rigidez y métodos implícitos
Los sistemas con escalas de tiempo muy distintas (un muelle rígido sobre un cuerpo lento) obligan a los métodos explícitos a dar pasos diminutos solo para seguir siendo estables. Los métodos implícitos, $y_{k+1} = y_k + h f(y_{k+1})$ , son estables con cualquier paso a cambio de resolver una ecuación en cada paso.
AvanzadoEcuaciones diferenciales
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10
Caos y sensibilidad a condiciones iniciales
Sistemas deterministas cuyas trayectorias cercanas se separan exponencialmente, $|\delta(t)| \approx |\delta_0|e^{\lambda t}$ con $\lambda > 0$ . Solo se puede predecir hasta un horizonte de unos $\frac1\lambda\ln\frac{\text{tolerancia}}{|\delta_0|}$ : medir mejor solo compra tiempo de forma logarítmica.
EspecializaciónSistemas dinámicos y caos
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11
Motores físicos
Software que hace avanzar un mundo de cuerpos en pasos de tiempo pequeños: acumular fuerzas, integrar velocidades y posiciones (Euler semiimplícito o Verlet), detectar colisiones y resolver contactos. Un resolvedor numérico de EDO ajustado para la velocidad y la estabilidad más que para la precisión.
UniversitarioFísica y simulación
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