Calculus×Computing
EN

Temario

El temario completo

Todos los conceptos del portal, área por área: primero el temario de cálculo y después los dominios de la informática que alimenta.

Filtrar por nivel

El cálculo y sus vecinos

ƒFundamentos

Los números, las funciones y las familias de funciones con las que trabaja el resto del cálculo, y cómo las representa un ordenador.

  1. Números reales
  2. Números complejos
  3. Intervalos
  4. Valor absoluto
  5. Desigualdades
  6. Funciones
  7. Dominio y recorrido
  8. Composición
  9. Funciones inversas
  10. Funciones polinómicas
  11. Funciones racionales
  12. Funciones exponenciales
  13. Funciones logarítmicas
  14. Funciones trigonométricas
  15. Funciones hiperbólicas
  16. Transformaciones de funciones

v⃗Álgebra lineal (puente)

Lo mínimo de álgebra lineal que necesita el cálculo multivariable: vectores, producto escalar y matrices. La historia completa está en el capítulo de álgebra lineal de Math of AI.

  1. Vectores
  2. Producto escalar
  3. Matrices y aplicaciones lineales

limSucesiones y límites

Qué significa acercarse a un valor, la idea sobre la que se construye todo lo demás en el cálculo, y su gemelo informático: el análisis asintótico.

  1. Sucesiones
  2. Convergencia de sucesiones
  3. Sucesiones monótonas y acotadas
  4. Subsucesiones
  5. Límite de una función
  6. Límites laterales
  7. Límites infinitos
  8. Límites en el infinito
  9. Infinitésimos y equivalencias
  10. Órdenes de magnitud
  11. Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)

εContinuidad

Funciones sin saltos y los teoremas que garantizan raíces, máximos y mínimos: los resultados de existencia que sostienen la bisección, la optimización y la interpolación.

  1. Continuidad
  2. Discontinuidades
  3. Continuidad uniforme
  4. Continuidad de Lipschitz
  5. Teorema de Bolzano
  6. Teorema del valor intermedio
  7. Teorema de Weierstrass (valores extremos)

f′Derivadas

La tasa de cambio instantánea: pendiente, velocidad, sensibilidad. La idea del cálculo más usada en informática.

  1. Derivada◐
  2. Derivabilidad y derivadas laterales
  3. Reglas de derivación
  4. Derivadas de funciones elementales
  5. Regla de la cadena
  6. Derivación implícita
  7. Derivadas de orden superior
  8. Diferencial y aproximación lineal

∎Teoremas fundamentales

Rolle, el teorema del valor medio, Cauchy, L'Hôpital y el teorema fundamental del cálculo: los resultados que convierten información local (derivadas) en garantías globales: cotas de error, límites, áreas.

  1. Teorema de Rolle
  2. Teorema del valor medio
  3. Teorema del valor medio de Cauchy
  4. Regla de L'Hôpital
  5. Teorema fundamental del cálculo

minExtremos y optimización

Encontrar lo mejor: máximos, mínimos, convexidad y optimización con restricciones. Las matemáticas detrás de entrenar modelos, planificar rutas y asignar recursos.

  1. Máximos y mínimos
  2. Puntos críticos y criterios de la derivada
  3. Convexidad y concavidad
  4. Optimización con restricciones
  5. Multiplicadores de Lagrange
  6. Condiciones KKT

≈Métodos numéricos

El cálculo como algoritmo: encontrar raíces, interpolar, derivar e integrar con aritmética finita, y saber cuánto puede equivocarse la respuesta.

  1. Error absoluto y relativo
  2. Condicionamiento
  3. Estabilidad numérica
  4. Orden y velocidad de convergencia
  5. Método de bisección
  6. Método de Newton◐
  7. Iteración de punto fijo
  8. Interpolación
  9. Diferenciación numérica
  10. Integración numérica (cuadratura)

TₙTaylor y series de Taylor

Aproximar cualquier función suave con polinomios construidos a partir de sus derivadas en un punto: la aproximación más usada en ciencia e ingeniería.

  1. Polinomio de Taylor◐
  2. Teorema de Taylor y resto
  3. Series de potencias
  4. Radio de convergencia
  5. Serie de Taylor y de Maclaurin

∫Integrales

Acumulación: áreas, totales, medias y probabilidades. La otra mitad del cálculo, y las matemáticas de Monte Carlo, del renderizado y del aprendizaje automático probabilístico.

  1. Primitivas e integral indefinida
  2. Sumas de Riemann◐
  3. Integral definida
  4. Cambio de variable
  5. Integración por partes
  6. Integrales trigonométricas
  7. Fracciones simples
  8. Integrales impropias

ΣSeries

Sumas infinitas y cuándo tienen sentido: los criterios de convergencia y su uso para analizar algoritmos, descontar recompensas y sumar números con seguridad en coma flotante.

  1. Series numéricas
  2. Serie geométrica
  3. Criterios de comparación
  4. Criterio de la integral
  5. Criterio del cociente
  6. Criterio de la raíz
  7. Series alternadas
  8. Convergencia absoluta y condicional

∇Cálculo multivariable

Funciones de muchas variables: derivadas parciales, gradiente, jacobianas y hessianas. El idioma en el que se entrena una red neuronal de mil millones de parámetros.

  1. Funciones de varias variables
  2. Superficies y conjuntos de nivel
  3. Límites y continuidad en varias variables
  4. Derivadas parciales
  5. Gradiente
  6. Derivada direccional
  7. Diferencial total y linealización
  8. Regla de la cadena multivariable
  9. Matriz jacobiana
  10. Matriz hessiana
  11. Extremos en varias variables
  12. Integrales múltiples y cambio de variables
  13. Curvatura (geometría diferencial básica)

∮Cálculo vectorial

Campos en el espacio y los operadores que los describen (gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano), más los teoremas integrales de Green, Gauss y Stokes. Las matemáticas de los fluidos, el electromagnetismo y los gráficos basados en la física.

  1. Campos escalares
  2. Campos vectoriales
  3. Divergencia
  4. Rotacional
  5. Laplaciano
  6. Integrales de línea
  7. Integrales de superficie y flujo
  8. Teorema de Green
  9. Teorema de la divergencia (Gauss)
  10. Teorema de Stokes

ẏEcuaciones diferenciales

Leyes escritas como tasas de cambio, y cómo resolverlas: exactamente cuando se puede, numéricamente siempre. Toda simulación, de un motor de videojuegos a un modelo climático, es una ecuación diferencial que se integra.

  1. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
  2. Problema de valor inicial: existencia y unicidad
  3. Ecuaciones de variables separables
  4. EDO lineales de primer orden
  5. EDO lineales de segundo orden (oscilaciones)
  6. Sistemas de EDO
  7. Método de Euler
  8. Métodos de Runge–Kutta
  9. Rigidez y métodos implícitos
  10. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)

φSistemas dinámicos y caos

El comportamiento a largo plazo de los sistemas que evolucionan: equilibrios, estabilidad, atractores, bifurcaciones y caos, y los límites que imponen a la predicción.

  1. Sistemas dinámicos
  2. Espacio de fases
  3. Puntos de equilibrio y estabilidad
  4. Atractores
  5. Bifurcaciones
  6. Caos y sensibilidad a condiciones iniciales
  7. Fractales

ℱTransformadas

Fourier, Laplace y Z: cambiar el punto de vista del tiempo a la frecuencia, donde las convoluciones se vuelven productos y las ecuaciones diferenciales, álgebra. Las matemáticas del audio, la imagen, la compresión y las telecomunicaciones.

  1. Series de Fourier
  2. Transformada de Fourier
  3. Convolución
  4. Transformada de Laplace
  5. Transformada Z
  6. Wavelets (ondículas)

ℙProbabilidad y cálculo

La probabilidad continua es cálculo: las densidades se integran para obtener probabilidades, las esperanzas son integrales y la máxima verosimilitud es anular una derivada. El núcleo matemático de la estadística y de la IA probabilística.

  1. Variables aleatorias continuas
  2. Función de densidad de probabilidad
  3. Función de distribución acumulada
  4. Esperanza
  5. Varianza
  6. Distribuciones continuas
  7. Estimación por máxima verosimilitud

Dominios de la informática

λComputación científica y algoritmos

Cómo representan los ordenadores los números, cuánto crecen los algoritmos, cómo manipulan fórmulas y cómo estiman lo que no se puede calcular exactamente.

  1. Coma flotante (IEEE 754)
  2. Análisis de algoritmos y complejidad
  3. Computación simbólica (CAS)
  4. Cálculo científico
  5. Métodos de Monte Carlo

ℒIA y machine learning

El cálculo detrás de la IA moderna: funciones de pérdida, gradientes, retropropagación, optimizadores y modelos probabilísticos.

  1. Regresión lineal
  2. Función de pérdida
  3. Descenso de gradiente◐
  4. Learning rate (tasa de aprendizaje)
  5. Regresión logística
  6. Funciones de activación
  7. Redes neuronales
  8. Diferenciación automática
  9. Retropropagación (backpropagation)◐
  10. Descenso de gradiente estocástico (SGD)
  11. Momento y Adam
  12. Regularización
  13. Paisaje de la pérdida (loss landscape)
  14. Optimización de segundo orden (con hessiano)
  15. Deep learning (aprendizaje profundo)
  16. Redes convolucionales (CNN)
  17. Máquinas de vectores soporte (SVM)
  18. Aprendizaje por refuerzo
  19. Inferencia bayesiana
  20. Modelos generativos
  21. Neural ODE

3DGráficos por computador

Normales, iluminación, curvas, ray tracing y renderizado: las derivadas orientan las superficies, la interpolación rellena los triángulos y las integrales recogen la luz.

  1. Normales de superficie
  2. Iluminación y sombreado
  3. Curvas de Bézier y splines
  4. Generación procedural y ruido
  5. Ray tracing (trazado de rayos)
  6. La ecuación de renderizado
  7. Campos de distancia con signo y ray marching
  8. Procesado de mallas (geometría diferencial discreta)

⚙Robótica y control

El movimiento son derivadas: velocidad, aceleración, jacobianas de las articulaciones a la mano, la dinámica como EDO y el control realimentado que lo mantiene todo estable.

  1. Cinemática: posición, velocidad, aceleración
  2. Jacobiana del robot (cinemática de velocidades)
  3. Cinemática inversa
  4. Dinámica de robots
  5. Control PID
  6. Teoría de control
  7. Filtro de Kalman
  8. Optimización de trayectorias y MPC

⚛Física y simulación

Mecánica, gravedad, calor, ondas, fluidos y electromagnetismo escritos como ecuaciones diferenciales, y los métodos numéricos que los convierten en videojuegos, cine, predicciones y software de ingeniería.

  1. Mecánica clásica
  2. Motores físicos
  3. Simulación gravitatoria de N cuerpos
  4. Ecuación del calor y difusión
  5. Ecuación de ondas
  6. Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell)
  7. Dinámica de fluidos y CFD
  8. Método de los elementos finitos
  9. Predicción meteorológica y clima
  10. Modelos de poblaciones y epidemias

∿Señales, multimedia y visión

Audio, imagen, vídeo y radio como funciones que se muestrean, transforman, filtran y comprimen: análisis de Fourier y derivadas a escala industrial.

  1. Procesamiento de señales
  2. Teorema de muestreo (Nyquist–Shannon)
  3. Transformada rápida de Fourier (FFT)
  4. Filtros digitales
  5. Compresión multimedia (JPEG, MP3, vídeo)
  6. Procesamiento de imagen y visión artificial
  7. Telecomunicaciones (modulación, OFDM)

⇄Optimización y sistemas

Planificación, logística, recomendaciones y rendimiento de sistemas informáticos: optimización y probabilidad aplicadas a decisiones a gran escala.

  1. Investigación operativa y logística
  2. Sistemas de recomendación
  3. Teoría de colas y rendimiento

⊕Criptografía y seguridad

Una nota honesta: la criptografía clásica se apoya en el álgebra, la teoría de números y las estructuras discretas, no en el cálculo. Las conexiones que existen son reales pero indirectas.

  1. Criptografía de curva elíptica
  2. Análisis de canal lateral

ψComputación y física cuántica

La mecánica cuántica combina álgebra lineal, cálculo, números complejos y probabilidad: funciones de onda, la ecuación de Schrödinger, la dualidad de Fourier y la evolución unitaria.

  1. Función de onda
  2. Ecuación de Schrödinger
  3. Principio de incertidumbre
  4. Computación cuántica
↑ ↓ para navegar · ↵ · Esc