Taylor y series de Taylor
Aproximar cualquier función suave con polinomios construidos a partir de sus derivadas en un punto: la aproximación más usada en ciencia e ingeniería.
5 conceptos
Conceptos
Polinomio de Taylor
El polinomio de grado que coincide con y sus primeras derivadas en un punto . Grado 1 es la recta tangente y grado 2 añade la curvatura; cuanto mayor el grado, más amplia la zona en que aproxima bien. En se llama polinomio de Maclaurin.
Teorema de Taylor y resto
El tamaño exacto del error de aproximación: para algún entre y . Es como el análisis numérico certifica la precisión.
Series de potencias
«Polinomios de grado infinito» . Dentro de su intervalo de convergencia se pueden sumar, multiplicar, derivar e integrar término a término, como los polinomios.
Radio de convergencia
Una serie de potencias converge si y diverge si . Sorprendentemente, es la distancia de a la singularidad más cercana en el plano complejo: la serie de en 0 tiene por los polos en , aunque la función es perfectamente suave en .
Serie de Taylor y de Maclaurin
Haz que el orden tienda a infinito: siempre que el resto tienda a 0. Las funciones iguales a su serie de Taylor se llaman analíticas; , , lo son en todo .