Cálculo científico · Calculus × Computing

¿Qué es?

La disciplina de convertir modelos matemáticos en números fiables: discretizar, resolver, estimar el error, repetir. La búsqueda de raíces, la cuadratura, los resolvedores de EDO/EDP y su análisis de error son sus herramientas de diario.

Fórmulas

\text{error} = \underbrace{O(h^p)}_{\text{truncamiento}} + \underbrace{O(\varepsilon_{\text{mach}}/h^q)}_{\text{redondeo}}

¿Por qué importa?

Las predicciones meteorológicas, el diseño de aviones, el descubrimiento de fármacos y las proyecciones climáticas son cálculo científico.

Las matemáticas que hay detrás

Error absoluto y relativo★★★★★fundamental
Todo resultado numérico debería ir con una estimación de su error; los errores de truncamiento y redondeo se presupuestan por separado.
Condicionamiento★★★★★fundamental
Los sistemas mal condicionados ( $\kappa$ grande) necesitan reformularse o más precisión, no un resolvedor mejor.
Orden y velocidad de convergencia★★★★★fundamental
El orden de un método decide cuántas iteraciones (y cuánto cómputo) cuesta una respuesta precisa.
Método de Newton★★★★★fundamental
El resolvedor por defecto de ecuaciones y sistemas no lineales, normalmente con salvaguardas.
Integración numérica (cuadratura)★★★★★fundamental
La cuadratura adaptativa (por ejemplo scipy.integrate.quad) es una herramienta estándar del software científico.
Teorema de Taylor y resto★★★★★fundamental
Los errores de truncamiento de las diferencias finitas y de los integradores de EDO son restos de Taylor.
Métodos de Runge–Kutta★★★★★fundamental
Los pares de Runge–Kutta adaptativos son los resolvedores de EDO de propósito general estándar.
Sucesiones★★★★★frecuente
Los métodos iterativos producen una sucesión de aproximaciones $x_k$ que debería converger a la solución.
Convergencia de sucesiones★★★★★frecuente
Criterios de parada como $|x_{k+1} - x_k| < \text{tol}$ son una comprobación finita de la condición de Cauchy.
Método de bisección★★★★★frecuente
Los resolvedores robustos (método de Brent) combinan la garantía de la bisección con pasos más rápidos.
Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)★★★★★frecuente
Los errores de discretización se expresan como $O(h^p)$ : dividir el paso por dos divide el error por $2^p$ .
Diferencial y aproximación lineal★★★★★frecuente
La propagación de errores de primer orden estima cómo afectan a los resultados los errores de medida y de redondeo.
Teorema del valor medio★★★★★frecuente
Las cotas de error de los métodos numéricos se deducen del TVM y del teorema de Taylor.
Iteración de punto fijo★★★★★frecuente
Los métodos de Jacobi y Gauss–Seidel, y muchos esquemas autoconsistentes, son iteraciones de punto fijo.
Serie de Taylor y de Maclaurin★★★★★frecuente
Las funciones especiales (erf, Bessel) se evalúan con series cerca de 0 y desarrollos asintóticos lejos.
Rigidez y métodos implícitos★★★★★frecuente
La cinética química y la simulación de circuitos (SPICE) dependen de resolvedores para problemas rígidos (BDF, Rosenbrock).
Series numéricas★★★★★frecuente
Sumar muchos términos con precisión requiere suma compensada (Kahan) o por pares.
Intervalos★★★★★avanzada
La aritmética de intervalos calcula con cotas $[\underline x, \overline x]$ para obtener errores garantizados.