Series numéricas

$\sum_{k=1}^\infty a_k$ es el límite de las sumas parciales $S_n = a_1 + \dots + a_n$. Que los términos tiendan a cero es necesario pero no suficiente: la serie armónica $\sum 1/k$ diverge, mientras que $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$.

La paradoja de Zenón (infinitos pasos, distancia finita), el desarrollo decimal de $\pi$, el coste total de un proceso infinito: hace falta saber cuándo sumar infinitos números da un resultado finito, y a qué velocidad se acercan las sumas parciales.

La serie armónica es la advertencia clásica. Sus términos tienden a cero, pero agrúpalos: $\frac13 + \frac14 > \frac12$, $\frac15 + \dots + \frac18 > \frac12$, … infinitas mitades. Crece como $\ln n$: tan despacio que la suma de los primeros $10^{43}$ términos apenas llega a 100, pero nunca se detiene.

$\sum a_k$ converge a $S$ si $S_n = \sum_{k=1}^n a_k \to S$. Condición necesaria: $a_k \to 0$. Criterio de Cauchy: $\sum a_k$ converge si y solo si $\forall\varepsilon\ \exists N:\ |a_{m+1} + \dots + a_n| < \varepsilon$ para $n > m \ge N$.

El análisis de algoritmos está lleno de series: el número esperado de comparaciones de quicksort es $\approx 2n\ln n$ por $H_n$; el coleccionista de cromos necesita $nH_n$ extracciones; los costes amortizados son sumas geométricas. En cálculo numérico las series dan los valores de las funciones, y sumarlas en coma flotante exige cuidado.