Series

Sumas infinitas y cuándo tienen sentido: los criterios de convergencia y su uso para analizar algoritmos, descontar recompensas y sumar números con seguridad en coma flotante.

8 conceptos

Conceptos

Series numéricas

$\sum_{k=1}^\infty a_k$ es el límite de las sumas parciales $S_n = a_1 + \dots + a_n$ . Que los términos tiendan a cero es necesario pero no suficiente: la serie armónica $\sum 1/k$ diverge, mientras que $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ .

Fundamental

Serie geométrica

$\sum_{k\ge0} r^k = \frac{1}{1 - r}$ si $|r| < 1$ . La serie que todo el mundo sabe sumar en forma cerrada, y la que hay detrás de los arrays dinámicos, las recurrencias de divide y vencerás y las recompensas descontadas del aprendizaje por refuerzo.

Fundamental

Criterios de comparación

Para términos positivos: si $a_k \le b_k$ y $\sum b_k$ converge, también $\sum a_k$ . La versión por paso al límite: si $a_k / b_k \to c \in (0, \infty)$ , las dos series se comportan igual. En la práctica se compara con series geométricas o $p$ -series.

Universitario

Criterio de la integral

Para $f$ positiva y decreciente, $\sum f(k)$ e $\int_1^\infty f$ convergen o divergen a la vez, y la integral estima la suma: así se obtiene $H_n \approx \ln n$ .

Universitario

Criterio del cociente

Si $|a_{k+1}/a_k| \to L$ : con $L < 1$ converge, con $L > 1$ diverge y con $L = 1$ no dice nada. Compara la serie con una geométrica, y es el criterio natural para series con factoriales.

Universitario

Criterio de la raíz

Si $\limsup |a_k|^{1/k} = L$ : con $L < 1$ converge, con $L > 1$ diverge. Algo más fuerte que el criterio del cociente; da el radio de convergencia de las series de potencias (Cauchy–Hadamard).

Universitario

Series alternadas

$\sum (-1)^k b_k$ con $b_k$ decreciente hacia 0 converge (Leibniz), y el error de parar en el término $n$ es como mucho el primer término omitido $b_{n+1}$ : una cota de error gratis.

Universitario

Convergencia absoluta y condicional

$\sum a_k$ converge absolutamente si lo hace $\sum |a_k|$ . Las series absolutamente convergentes se pueden reordenar libremente; las condicionalmente convergentes no: Riemann demostró que una reordenación puede hacer que sumen cualquier número.

Universitario

A dónde lleva esta área en informática

Conceptos

Series numéricas

Serie geométrica

Criterios de comparación

Criterio de la integral

Criterio del cociente

Criterio de la raíz

Series alternadas

Convergencia absoluta y condicional

A dónde lleva esta área en informática

λ Computación científica y algoritmos ★★★★★

ℒ IA y machine learning ★★★★★

⇄ Optimización y sistemas ★★★★★