Integrales
Acumulación: áreas, totales, medias y probabilidades. La otra mitad del cálculo, y las matemáticas de Monte Carlo, del renderizado y del aprendizaje automático probabilístico.
8 conceptos
Donde la derivada pregunta a qué velocidad, la integral pregunta cuánto en total. Sumar infinitas aportaciones infinitamente finas resulta estar en toda la informática:
INTEGRAL
├──► Probabilidad (las probabilidades son áreas bajo densidades; las esperanzas, integrales)
├──► Física (trabajo, masa, energía, posición a partir de la velocidad)
├──► Simulación (cada paso de tiempo integra las ecuaciones del movimiento)
├──► Señales (energía, convolución, coeficientes de Fourier)
└──► Monte Carlo (estimar una integral promediando muestras aleatorias, y renderizar imágenes así)
En aprendizaje automático la conexión es real pero menos directa que con las derivadas: el objetivo verdadero es una pérdida esperada (una integral sobre la distribución de los datos), que el entrenamiento aproxima con medias sobre mini-lotes.
Conceptos
Primitivas e integral indefinida
es una primitiva de si ; todas difieren en una constante, y se escribe . Muchas funciones elementales, como , no tienen primitiva elemental.
Sumas de Riemann
Aproxima el área bajo una curva con rectángulos finos, . Cuando la suma converge a la integral: despacio con la regla izquierda/derecha (), más deprisa con la del punto medio ().
Integral definida
es el límite de las sumas de Riemann: el área con signo entre la gráfica y el eje o, más en general, el total acumulado por una tasa en .
Cambio de variable
La regla de la cadena leída al revés: . En probabilidad es como se transforman las densidades cuando se transforma una variable aleatoria.
Integración por partes
La regla del producto leída al revés: . Pasa una derivada de un factor al otro, el truco detrás de la formulación débil de las ecuaciones diferenciales y de los elementos finitos.
Integrales trigonométricas
Integrales de productos de y . El hecho clave: frecuencias distintas son ortogonales ( si ), y eso es lo que hace funcionar las series de Fourier.
Fracciones simples
Descomponer una función racional en piezas simples , que se integran como logaritmos y arcotangentes. Los ingenieros usan la misma descomposición para invertir transformadas de Laplace y Z.
Integrales impropias
Integrales sobre intervalos infinitos o de funciones no acotadas, definidas como límites: . Toda densidad de probabilidad sobre integra 1 de esta forma.