Filtros digitales

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¿Qué es?

Ecuaciones en diferencias que conservan unas frecuencias y eliminan otras. Los filtros FIR son convoluciones; los IIR realimentan salidas anteriores y se analizan con la transformada Z (estables si y solo si los polos están dentro de la circunferencia unidad).

Fórmulas

y[n] = \sum_{k=0}^{M}b_k\,x[n-k] - \sum_{k=1}^{N}a_k\,y[n-k] \quad\Longleftrightarrow\quad H(z) = \frac{\sum_k b_k z^{-k}}{1 + \sum_k a_k z^{-k}}

Las matemáticas que hay detrás

Convolución★★★★★fundamental
Un filtro FIR es la convolución de la señal con su respuesta al impulso.
Transformada Z★★★★★fundamental
El diseño y análisis de filtros (IIR/FIR, polos y ceros, respuesta en frecuencia sobre $|z| = 1$ ) se hace con la transformada Z.
Funciones racionales★★★★★frecuente
La función de transferencia $H(z)$ de un filtro IIR es racional; sus polos deciden la estabilidad.
Fracciones simples★★★★★frecuente
Las transformadas Z inversas y las realizaciones de filtros en paralelo usan fracciones simples de $H(z)$ .
EDO lineales de primer orden★★★★★frecuente
La media móvil exponencial $y_k = (1-\alpha)y_{k-1} + \alpha x_k$ es una EDO lineal de primer orden discretizada (un paso bajo RC).

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.