Funciones exponenciales · Calculus × Computing

¿Qué es?

$a^x$ , y sobre todo $e^x$ : la única función (salvo un factor) que es su propia derivada. Modela todo lo que cambia a un ritmo proporcional a su tamaño: poblaciones, intereses, desintegración radiactiva y algoritmos exponenciales.

Intuición

Sumar una constante a la entrada multiplica la salida por una constante: $e^{x+h} = e^x e^h$ . El tiempo de duplicación es constante. Por eso el crecimiento exponencial siempre acaba ganando: todo $n^k$ termina superado por $2^n$ .

Fórmulas

$e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n \approx 2.71828$; $\frac{\dd}{\dd x} e^x = e^x, \qquad e^{a+b} = e^a e^b$; $y' = ky \iff y(t) = y_0 e^{kt}$
crecimiento proporcional al tamaño

Aplicaciones en informática

Modelos de poblaciones y epidemias★★★★★fundamentalFísica y simulación
El inicio de una epidemia y las poblaciones sin límites crecen exponencialmente, $N(t) = N_0 e^{rt}$ .
Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos
La búsqueda exhaustiva sobre $n$ bits cuesta $2^n$ pasos: el tiempo exponencial es la firma de lo intratable.

Dónde aparece en IA

Funciones de activación★★★★★frecuenteIA y machine learning
La sigmoide, la softmax y la tanh se construyen con $e^x$ .

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

Qué depende de él

Ejercicios

1Problema aplicado

Un conjunto de datos se duplica cada 18 meses. ¿Cuánto tarda en ser 100 veces mayor?

Solución

$2^{t/1{,}5} = 100 \Rightarrow t = 1{,}5 \log_2 100 \approx 1{,}5 \cdot 6{,}64 \approx 10$ años.

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Fórmulas

Aplicaciones en informática

Dónde aparece en IA

¿Dónde se utiliza?

λ Computación científica y algoritmos

ℒ IA y machine learning

⚙ Robótica y control

⚛ Física y simulación

∿ Señales, multimedia y visión

⇄ Optimización y sistemas

Qué depende de él

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