Teorema fundamental del cálculo · Calculus × Computing

¿Qué es?

Derivar e integrar son operaciones inversas. Acumular una tasa de cambio devuelve el cambio total: $\int_a^b f'(x)\,\dd x = f(b) - f(a)$ , y la derivada de una cantidad acumulada es la tasa.

¿Por qué existe?

Las áreas se calculaban agotándolas con trozos finos desde Arquímedes: lento, curva a curva. Las tangentes eran otro problema. Newton y Leibniz (con Barrow antes) descubrieron que son el mismo problema recorrido en sentidos opuestos, de modo que una tabla de derivadas es también una tabla de áreas.

Intuición

Sea $A(x) = \int_a^x f(t)\,\dd t$ el área acumulada hasta $x$ . Mueve $x$ un poco a la derecha, $h$ : el área crece en una franja fina de altura más o menos $f(x)$ y anchura $h$ . Así que $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx f(x)$ : el ritmo al que se acumula el área es la altura de la curva. Si $v(t)$ es una velocidad, acumularla da la distancia recorrida.

Enunciado

Parte 1. Si $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces $A(x) = \int_a^x f(t)\,\dd t$ es derivable y $A'(x) = f(x)$ .

Parte 2 (regla de Barrow). Si $F$ es una primitiva de una $f$ continua en $[a,b]$ , entonces

\int_a^b f(x)\,\dd x = F(b) - F(a).

Idea de la demostración

Parte 1: $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} = \frac1h\int_x^{x+h} f$ es una media de $f$ en un intervalo diminuto, que tiende a $f(x)$ por continuidad. Parte 2: $A$ y $F$ tienen la misma derivada, así que difieren en una constante (TVM).

Demostración

Parte 1. Para $h > 0$ , por el teorema del valor medio para integrales existe $c_h \in [x, x+h]$ con $\int_x^{x+h} f = f(c_h)\,h$ . Por tanto $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(c_h) \to f(x)$ cuando $h \to 0^+$ , porque $c_h \to x$ y $f$ es continua. El caso $h < 0$ es idéntico.

Parte 2. $(A - F)' = f - f = 0$ en $(a,b)$ , así que por el TVM $A - F$ es constante: $A(x) = F(x) + C$ . Como $A(a) = 0$ , $C = -F(a)$ y $\int_a^b f = A(b) = F(b) - F(a)$ . $\blacksquare$

Fórmulas

$\frac{\dd}{\dd x}\int_a^x f(t)\,\dd t = f(x)$; $\int_a^b f(x)\,\dd x = F(b) - F(a), \qquad F' = f$; $s(T) = s(0) + \int_0^T v(t)\,\dd t$
posición a partir de la velocidad

Ejemplo

Área bajo $\sin x$ en $[0, \pi]$ : una primitiva es $-\cos x$ , así que el área es $-\cos\pi + \cos 0 = 2$ . Compárala con las sumas de Riemann de la demo de Sumas de Riemann, que necesitan cientos de rectángulos para tres cifras.

¿Por qué importa?

Une las dos mitades de la materia y explica por qué los motores físicos y los resolvedores de EDO son «integradores»: convierten tasas (fuerzas, velocidades) en estados (posiciones). En probabilidad es el vínculo entre una densidad y su distribución acumulada, $F' = f$ .

Aplicaciones en informática

Motores físicos★★★★★fundamentalFísica y simulación
Integrar la velocidad da la posición: cada paso de simulación es una aplicación diminuta del TFC.
Computación simbólica (CAS)★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos
Los CAS evalúan integrales definidas buscando una primitiva (algoritmo de Risch) y aplicando la regla de Barrow.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

Qué depende de él

Ejercicios

1Cálculo directo

Calcula $\frac{\dd}{\dd x}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\,\dd t$ .

Solución

Por el TFC y la regla de la cadena: $e^{-x^4}\cdot 2x$ .

2Informática

Un sensor da la velocidad cada 0,1 s. ¿Cómo estimas la posición y qué teorema lo justifica?

Solución

La posición es $s(0) + \int_0^T v$ (TFC). Con muestras, la integral se aproxima con una suma, por ejemplo la regla del trapecio $\sum \frac{v_k + v_{k+1}}{2}\,0{,}1$ . Los errores se acumulan (deriva), y por eso las IMU se fusionan con el GPS.