Transformada de Fourier

La versión continua para señales no periódicas: $\hat f(\xi) = \int f(t)\,e^{-2\pi i\xi t}\,\dd t$ da la cantidad de cada frecuencia $\xi$. Convierte la convolución en multiplicación y la derivación en multiplicar por $2\pi i\xi$; por eso filtrar, comprimir y resolver EDP lineales es más fácil en el espacio de frecuencias.

Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (filtros, lentes, salas, líneas de transmisión, la ecuación del calor) no mezclan frecuencias: entra una sinusoide y sale la misma sinusoide, escalada y desplazada. En el dominio de la frecuencia un sistema así es solo una multiplicación, así que la transformada de Fourier lo diagonaliza.

Enrolla la señal alrededor de una circunferencia a frecuencia $\xi$ (multiplica por $e^{-2\pi i\xi t}$) y calcula el centro de masas. Si la señal tiene una componente en $\xi$, el enrollado la acumula en un lado y el centro se aleja de cero; si no, todo se compensa. $\hat f(\xi)$ es ese centro de masas. Una señal estrecha necesita muchas frecuencias (espectro ancho); un tono puro tiene un único pico: el principio de incertidumbre tiempo–frecuencia.

Propiedades clave: $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ (teorema de convolución), $\widehat{f'}(\xi) = 2\pi i\xi\,\hat f(\xi)$, $\int|f|^2 = \int|\hat f|^2$ (Plancherel). La transformada discreta de $N$ muestras, $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2\pi i kn/N}$, se calcula en $O(N\log N)$ con la FFT.

Una grabación de 3 segundos de un la 440 con algo de ruido: su DFT muestra un pico nítido en 440 Hz (y en 880, 1320… si el instrumento tiene armónicos). Un afinador de guitarra es literalmente este cálculo seguido de un argmax.

Los códecs de audio, la compresión de imagen, el wifi y el 4G/5G (OFDM), la reconstrucción de resonancias magnéticas, el radar, la espectroscopia, la multiplicación rápida de polinomios y enteros, las convoluciones grandes: todo funciona con transformadas de Fourier calculadas por la FFT, uno de los algoritmos más importantes jamás escritos.