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Convolución

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¿Qué es?

(f∗g)(t)=∫f(τ) g(t−τ) dτ(f * g)(t) = \int f(\tau)\,g(t - \tau)\,\dd\tau: una media ponderada deslizante de una función por otra. El desenfoque, el eco, el suavizado, la salida de cualquier sistema lineal invariante en el tiempo y, discretizada, la operación que da nombre a las redes neuronales convolucionales.

Fórmulas

(f∗g)(t)=∫−∞∞f(τ) g(t−τ) dτ,(x∗h)[n]=∑kx[k] h[n−k](f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t - \tau)\,\dd\tau, \qquad (x * h)[n] = \sum_k x[k]\,h[n - k]
pX+Y=pX∗pYp_{X+Y} = p_X * p_Y
la densidad de una suma de variables independientes XX, YY

Aplicaciones en informática

  • Procesamiento de imagen y visión artificial★★★★★fundamentalSeñales, multimedia y visión

    Los filtros de desenfoque, realce y bordes son convoluciones con núcleos pequeños.

  • Filtros digitales★★★★★fundamentalSeñales, multimedia y visión

    Un filtro FIR es la convolución de la señal con su respuesta al impulso.

  • Procesamiento de señales★★★★★fundamentalSeñales, multimedia y visión

    La salida de cualquier sistema LTI es la entrada convolucionada con la respuesta al impulso (reverberación = convolución con una sala).

Dónde aparece en IA

  • Redes convolucionales (CNN)★★★★★fundamentalIA y machine learning

    Una capa convolucional desliza núcleos aprendidos sobre la entrada (en rigor, una correlación cruzada: el núcleo no se invierte).

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

ℒ IA y machine learning

∿ Señales, multimedia y visión

⊕ Criptografía y seguridad

Ejercicios

1Cálculo directo

Convoluciona la sucesión [1,2,3][1, 2, 3] con el núcleo [1,1]/2[1, 1]/2.

Solución

[0,5; 1,5; 2,5; 1,5][0{,}5;\ 1{,}5;\ 2{,}5;\ 1{,}5]: una media móvil (con los bordes rellenos de ceros).

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.

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