Límite de una función

$\lim_{x\to a} f(x) = L$: los valores $f(x)$ se pueden acercar a $L$ tanto como queramos tomando $x$ lo bastante cerca de $a$ (pero distinto). Las derivadas, las integrales y la continuidad se definen todas como límites.

Algunas de las magnitudes más importantes son de la forma $0/0$: la pendiente $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ en $h = 0$, la velocidad media en un intervalo de longitud cero. No se puede sustituir el valor, pero sí preguntar a qué se acerca la expresión. El límite es la herramienta que vuelve rigurosos lo «instantáneo» y lo «infinitamente fino».

Un juego entre dos jugadores. El escéptico fija una tolerancia $\varepsilon$ alrededor de $L$ (una banda horizontal); tú tienes que responder con un $\delta$ (una banda vertical alrededor de $a$) de modo que la gráfica, sobre la banda vertical sin el propio punto $a$, se quede dentro de la banda horizontal. Si siempre puedes responder, el límite es $L$. Lo que pase exactamente en $a$ da igual: $f$ ni siquiera tiene que estar definida ahí.

Equivalentemente (Heine): para toda sucesión $x_n \to a$ con $x_n \ne a$, $f(x_n) \to L$.

1. Prueba a sustituir: si $f$ es continua en $a$, el límite es $f(a)$.
2. Si sale $0/0$, simplifica: factoriza, racionaliza o usa límites conocidos y equivalencias.
3. Si sigue sin salir: regla de L'Hôpital o desarrollo de Taylor.
4. Para ver que un límite no existe, busca dos sucesiones $x_n \to a$ con límites distintos de $f(x_n)$.

$\lim_{x\to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ es $0/0$, pero $\frac{x^2-4}{x-2} = x + 2$ para $x \ne 2$, así que el límite es $4$. Numéricamente, evaluar en $x = 2 + 10^{-12}$ en coma flotante da un valor que se desvía unas $10^{-4}$: la resta $x^2 - 4$ cancela casi todas las cifras significativas.

Todos los conceptos a partir de aquí (continuidad, derivada, integral, series, convergencia de algoritmos) son límites. Y el ejemplo de arriba muestra el giro computacional: un límite es una afirmación sobre aritmética exacta, y un ordenador que intenta acercarse a él literalmente ($h$ diminuto) choca con el error de redondeo.