Divergencia

$\nabla\cdot F = \partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R$: el flujo neto saliente por unidad de volumen en un punto. Positiva en las fuentes, negativa en los sumideros y cero en un flujo incompresible.

Para expresar localmente las leyes de conservación. «La masa ni se crea ni se destruye» se convierte en $\partial_t\rho + \nabla\cdot(\rho u) = 0$; «el agua no se comprime», en $\nabla\cdot u = 0$; «la carga eléctrica produce campo eléctrico», en la ley de Gauss.

Dibuja una caja diminuta alrededor del punto y cuenta lo que sale menos lo que entra, dividido entre el volumen de la caja. Un grifo es una fuente (divergencia positiva) y un desagüe un sumidero (negativa). En un río, el agua que entra en una región tiene que salir: divergencia cero.

$F = (x, y, z)$ apunta hacia fuera desde el origen: $\nabla\cdot F = 3$ en todas partes, todo punto es una fuente. $F = (-y, x, 0)$ gira alrededor del eje $z$: $\nabla\cdot F = 0$, da vueltas pero no se crea nada.

Todo resolvedor de fluidos incompresibles de videojuegos y cine (stable fluids, FLIP) tiene un paso de «proyección» que elimina la divergencia del campo de velocidades resolviendo una ecuación de Poisson. Los simuladores electromagnéticos y los códigos CFD de volúmenes finitos se organizan alrededor de flujos y divergencia.