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Cálculo vectorial

Campos en el espacio y los operadores que los describen (gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano), más los teoremas integrales de Green, Gauss y Stokes. Las matemáticas de los fluidos, el electromagnetismo y los gráficos basados en la física.

10 conceptos

Un campo asigna un valor a cada punto del espacio: una temperatura (campo escalar) o una velocidad (campo vectorial). Tres operadores diferenciales resumen cómo se comporta localmente un campo: el gradiente (hacia dónde crece), la divergencia (cuánto se expande desde un punto) y el rotacional (cuánto gira), y el laplaciano combina dos de ellos. Los teoremas de Green, Gauss y Stokes dicen que lo que pasa dentro de una región lo determina lo que fluye a través de su frontera; los simuladores de volúmenes finitos se construyen directamente sobre esa idea.

Conceptos

Campos escalares

Una función ϕ:ℝ3→ℝ\phi : \R^3 \to \R vista como una magnitud repartida por el espacio: temperatura, presión, densidad, potencial eléctrico, distancia a una superficie.

Universitario

Campos vectoriales

Un vector en cada punto: el viento, el flujo del agua, un campo magnético, la fuerza de la gravedad. Las curvas integrales (líneas de corriente) siguen las flechas.

Universitario

Divergencia

∇⋅F=∂xP+∂yQ+∂zR\nabla\cdot F = \partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R: el flujo neto saliente por unidad de volumen en un punto. Positiva en las fuentes, negativa en los sumideros y cero en un flujo incompresible.

Universitario

Rotacional

∇×F\nabla\times F: un vector que mide la rotación local de un campo; su eje es el eje de giro y su longitud el doble de la velocidad angular. Los campos que son gradientes tienen rotacional cero.

Universitario

Laplaciano

Δf=∇⋅∇f=∑i∂2f/∂xi2\Delta f = \nabla\cdot\nabla f = \sum_i \partial^2 f/\partial x_i^2: cuánto se diferencia ff en un punto de la media de sus vecinos. Aparece en las ecuaciones del calor, de ondas, de Laplace, de Poisson y de Schrödinger, y su versión discreta suaviza mallas y detecta bordes.

Universitario

Integrales de línea

Integrar un campo a lo largo de una curva: el trabajo ∫CF⋅dr\int_C F\cdot\dd r que hace una fuerza a lo largo de un camino. Para campos gradiente solo depende de los extremos: la definición de fuerza conservativa.

Universitario

Integrales de superficie y flujo

Integrar sobre una superficie: su área, o el flujo ∬SF⋅n dS\iint_S F\cdot n\,\dd S, cuánto de un campo la atraviesa por unidad de tiempo (agua a través de una red, luz a través de una ventana).

Avanzado

Teorema de Green

En el plano, la circulación a lo largo de una curva cerrada es igual a la integral del rotacional en su interior. Una joya computacional: el área de un polígono a partir de sus vértices (fórmula del lazo o del cordón) es el teorema de Green.

AvanzadoTeorema

Teorema de la divergencia (Gauss)

La divergencia total dentro de una región es igual al flujo saliente por su frontera: lo que se produce dentro tiene que salir por la superficie. Es la base de las leyes de conservación y de los métodos de volúmenes finitos.

AvanzadoTeorema

Teorema de Stokes

La circulación de un campo a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional a través de cualquier superficie limitada por la curva. El teorema de Green en 3D, y la forma integral de las leyes de Faraday y Ampère.

AvanzadoTeorema

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