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Laplaciano

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¿Qué es?

Δf=∇⋅∇f=∑i∂2f/∂xi2\Delta f = \nabla\cdot\nabla f = \sum_i \partial^2 f/\partial x_i^2: cuánto se diferencia ff en un punto de la media de sus vecinos. Aparece en las ecuaciones del calor, de ondas, de Laplace, de Poisson y de Schrödinger, y su versión discreta suaviza mallas y detecta bordes.

Intuición

En una malla, Δf≈1h2(suma de los 4 vecinos−4f)\Delta f \approx \frac{1}{h^2}\big(\text{suma de los 4 vecinos} - 4f\big). Si Δf<0\Delta f < 0 el punto está por encima de la media de sus vecinos (un bulto); el flujo de calor ut=αΔuu_t = \alpha\Delta u aplana los bultos. Las funciones con Δf=0\Delta f = 0 (armónicas) son iguales a la media de su entorno: el estado estacionario.

Fórmulas

Δf=∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\Delta f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
Δhfi,j=fi+1,j+fi−1,j+fi,j+1+fi,j−1−4fi,jh2\Delta_h f_{i,j} = \frac{f_{i+1,j} + f_{i-1,j} + f_{i,j+1} + f_{i,j-1} - 4f_{i,j}}{h^2}
estencil de cinco puntos

Aplicaciones en informática

  • Ecuación del calor y difusión★★★★★fundamentalFísica y simulación

    La difusión es ut=αΔuu_t = \alpha\Delta u.

  • Ecuación de ondas★★★★★fundamentalFísica y simulación

    Las ondas son utt=c2Δuu_{tt} = c^2\Delta u.

  • Procesado de mallas (geometría diferencial discreta)★★★★★fundamentalGráficos por computador

    El laplaciano discreto (cotangente) es el operador central del procesado geométrico: suavizado, parametrización, deformación.

  • Ecuación de Schrödinger★★★★★fundamentalComputación y física cuántica

    La energía cinética en mecánica cuántica es −ℏ22mΔ-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta.

  • Dinámica de fluidos y CFD★★★★★fundamentalFísica y simulación

    La proyección de presión resuelve una ecuación de Poisson Δp=∇⋅u∗\Delta p = \nabla\cdot u^\ast en cada paso de tiempo.

  • Procesamiento de imagen y visión artificial★★★★★frecuenteSeñales, multimedia y visión

    Detección de bordes con laplaciano de gaussiana, realce y fusión de imágenes de Poisson.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

3D Gráficos por computador

⚛ Física y simulación

ψ Computación y física cuántica

∿ Señales, multimedia y visión

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