Física computacional · Calculus × Computing

01
Derivada
$f'(a)$ es la tasa de cambio instantánea de $f$ en $a$ : la pendiente de la recta tangente a la gráfica, definida como el límite de las pendientes de las rectas secantes.
FundamentalDerivadas
Marcar como estudiado
02
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
Una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas, $y' = f(t, y)$ . Sus soluciones son trayectorias: dado dónde empiezas, la ecuación dice adónde vas después; el modelo matemático de todo lo que evoluciona en el tiempo.
UniversitarioEcuaciones diferenciales
Marcar como estudiado
03
EDO lineales de segundo orden (oscilaciones)
$m\ddot x + c\dot x + kx = F(t)$ : muelles, péndulos, circuitos, suspensiones. Las raíces de la ecuación característica $m r^2 + c r + k = 0$ deciden si el sistema oscila (raíces complejas), vuelve suavemente (raíces reales) o entra en resonancia.
UniversitarioEcuaciones diferenciales
Marcar como estudiado
04
Gradiente
$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$ : el vector de todas las derivadas parciales. Apunta en la dirección de máximo ascenso, su longitud es esa pendiente máxima y es perpendicular a los conjuntos de nivel. Si caminas en contra bajas lo más deprisa posible.
UniversitarioCálculo multivariable
Marcar como estudiado
05
Divergencia
$\nabla\cdot F = \partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R$ : el flujo neto saliente por unidad de volumen en un punto. Positiva en las fuentes, negativa en los sumideros y cero en un flujo incompresible.
UniversitarioCálculo vectorial
Marcar como estudiado
06
Rotacional
$\nabla\times F$ : un vector que mide la rotación local de un campo; su eje es el eje de giro y su longitud el doble de la velocidad angular. Los campos que son gradientes tienen rotacional cero.
UniversitarioCálculo vectorial
Marcar como estudiado
07
Laplaciano
$\Delta f = \nabla\cdot\nabla f = \sum_i \partial^2 f/\partial x_i^2$ : cuánto se diferencia $f$ en un punto de la media de sus vecinos. Aparece en las ecuaciones del calor, de ondas, de Laplace, de Poisson y de Schrödinger, y su versión discreta suaviza mallas y detecta bordes.
UniversitarioCálculo vectorial
Marcar como estudiado
08
Teorema de la divergencia (Gauss)
La divergencia total dentro de una región es igual al flujo saliente por su frontera: lo que se produce dentro tiene que salir por la superficie. Es la base de las leyes de conservación y de los métodos de volúmenes finitos.
AvanzadoCálculo vectorial
Marcar como estudiado
09
Series de Fourier
Toda función periódica razonable es una suma de senos y cosenos de múltiplos de una frecuencia base: $f(t) = \sum_n c_n e^{2\pi i n t/T}$ . Los coeficientes $c_n$ (el espectro) dicen cuánto contiene de cada armónico.
AvanzadoTransformadas
Marcar como estudiado
10
Transformada de Fourier
La versión continua para señales no periódicas: $\hat f(\xi) = \int f(t)\,e^{-2\pi i\xi t}\,\dd t$ da la cantidad de cada frecuencia $\xi$ . Convierte la convolución en multiplicación y la derivación en multiplicar por $2\pi i\xi$ ; por eso filtrar, comprimir y resolver EDP lineales es más fácil en el espacio de frecuencias.
AvanzadoTransformadas
Marcar como estudiado
11
Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)
Ecuaciones para campos que dependen del espacio y del tiempo, con derivadas parciales: difusión del calor, ondas, flujo de fluidos, electromagnetismo, mecánica cuántica. Se resuelven numéricamente discretizando el espacio (diferencias finitas, volúmenes finitos, elementos finitos, métodos espectrales).
AvanzadoEcuaciones diferenciales
Marcar como estudiado
12
Ecuación del calor y difusión
$u_t = \alpha\Delta u$ : la temperatura (o la concentración, o la probabilidad) fluye de lo alto a lo bajo y se suaviza. Se resuelve con diferencias finitas o series de Fourier; el desenfoque gaussiano de una imagen es exactamente ejecutar esta ecuación.
AvanzadoFísica y simulación
Marcar como estudiado
13
Ecuación de ondas
$u_{tt} = c^2\Delta u$ : las perturbaciones viajan a velocidad $c$ . El sonido, las cuerdas vibrantes, las ondas sísmicas y la luz la obedecen; los videojuegos usan versiones discretizadas para ondas en el agua y acústica de salas.
AvanzadoFísica y simulación
Marcar como estudiado
14
Dinámica de fluidos y CFD
Las ecuaciones de Navier–Stokes para un campo de velocidades $u$ y una presión $p$ . La CFD de ingeniería las resuelve sobre mallas con volúmenes finitos; el cine y los videojuegos usan «stable fluids» (Stam, 1999): advectar, añadir fuerzas y proyectar a divergencia nula resolviendo una ecuación de Poisson.
EspecializaciónFísica y simulación
Marcar como estudiado