Ecuación del calor y difusión

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¿Qué es?

$u_t = \alpha\Delta u$ : la temperatura (o la concentración, o la probabilidad) fluye de lo alto a lo bajo y se suaviza. Se resuelve con diferencias finitas o series de Fourier; el desenfoque gaussiano de una imagen es exactamente ejecutar esta ecuación.

Fórmulas

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\Delta u$; $u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\alpha\,\Delta t}{\Delta x^2}\big(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n\big), \qquad \frac{\alpha\,\Delta t}{\Delta x^2} \le \frac12$
esquema explícito y su condición de estabilidad

¿Por qué importa?

El diseño térmico de CPU y baterías, el procesado de materiales y, con las mismas matemáticas, el suavizado de imágenes y los modelos generativos de difusión.

Las matemáticas que hay detrás

Diferenciación numérica★★★★★fundamental
Los resolvedores por diferencias finitas sustituyen $\partial^2/\partial x^2$ por el estencil $[1, -2, 1]/h^2$ sobre una malla.
Derivadas parciales★★★★★fundamental
La ecuación del calor $u_t = \alpha(u_{xx} + u_{yy})$ es una relación entre derivadas parciales.
Laplaciano★★★★★fundamental
La difusión es $u_t = \alpha\Delta u$ .
Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)★★★★★fundamental
El prototipo de EDP parabólica.
Series de Fourier★★★★★histórica
Fourier inventó sus series para resolver la ecuación del calor; los métodos espectrales aún lo hacen.

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.