Series de Fourier

Toda función periódica razonable es una suma de senos y cosenos de múltiplos de una frecuencia base: $f(t) = \sum_n c_n e^{2\pi i n t/T}$. Los coeficientes $c_n$ (el espectro) dicen cuánto contiene de cada armónico.

Fourier (1807) necesitaba resolver la ecuación del calor: los senos son las formas que conservan su perfil mientras decaen, así que si cualquier temperatura inicial se puede escribir como suma de senos, el problema se separa en trozos fáciles e independientes. Afirmar que cualquier función podía escribirse así fue escandaloso, y cambió el análisis.

Los senos de frecuencias distintas son ortogonales, como ejes perpendiculares. El coeficiente $c_n$ es la proyección de $f$ sobre el $n$-ésimo armónico, $\frac1T\int f(t)e^{-2\pi int/T}\,\dd t$: una correlación que mide cuánto «resuena» $f$ en esa frecuencia. Una onda cuadrada es la suma de los armónicos impares $\frac{4}{\pi}\big(\sin t + \frac13\sin 3t + \frac15\sin5t + \dots\big)$; su salto provoca una sobreoscilación del 9 % que nunca desaparece (fenómeno de Gibbs), el «halo» que se ve alrededor de los bordes en los JPEG muy comprimidos.

Para $f$ de periodo $T$ con $\int_0^T|f|^2 < \infty$,

con convergencia en media cuadrática, y puntual allí donde $f$ es suave. Parseval: $\frac1T\int_0^T|f|^2 = \sum|c_n|^2$ (la energía es la misma en el tiempo y en la frecuencia).

El timbre musical es el patrón de amplitudes de los armónicos; los ecualizadores de audio suben o bajan bandas de frecuencia; las ecuaciones del calor y de ondas se resuelven término a término; y la versión discreta (DFT/FFT) es el caballo de batalla del procesado digital de señales.