Números complejos · Calculus × Computing

¿Qué es?

Números $z = a + bi$ con $i^2 = -1$ . Geométricamente son puntos del plano, y multiplicar por $e^{i\theta}$ es una rotación: por eso son el lenguaje natural de las oscilaciones, las ondas y las señales.

¿Por qué existe?

Históricamente, para resolver ecuaciones cúbicas: la fórmula de las raíces reales pasaba por raíces cuadradas de negativos. Hoy la razón es otra: todo polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas (teorema fundamental del álgebra), y las rotaciones y oscilaciones se convierten en simples multiplicaciones.

Intuición

Escribe $z = r e^{i\theta}$ : una longitud $r = |z|$ y un ángulo $\theta = \arg z$ . Multiplicar dos complejos multiplica las longitudes y suma los ángulos. Así, $e^{i\omega t}$ es un punto que gira sobre la circunferencia unidad con velocidad angular $\omega$ ; su sombra sobre el eje real es $\cos \omega t$ . Una señal es una suma de flechas que giran así, y esa es toda la idea del análisis de Fourier.

Fórmulas

$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$
fórmula de Euler: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \bar z = a - bi, \qquad z \bar z = |z|^2$
módulo y conjugado: $\omega_N = e^{-2\pi i / N}, \qquad \omega_N^N = 1$
raíces de la unidad (el corazón de la FFT)

Aplicaciones en informática

Transformada rápida de Fourier (FFT)★★★★★fundamentalSeñales, multimedia y visión
La FFT se basa en las simetrías de las raíces $N$ -ésimas de la unidad $e^{-2\pi i k/N}$ .
Computación cuántica★★★★★fundamentalComputación y física cuántica
Las amplitudes de un cúbit son complejas; la interferencia es la suma de fases complejas.
Procesamiento de señales★★★★★fundamentalSeñales, multimedia y visión
Las sinusoides se manejan como fasores $Ae^{i(\omega t + \varphi)}$ : amplitud y fase en un solo número.
Función de onda★★★★★fundamentalComputación y física cuántica
Una función de onda toma valores complejos; solo $|\psi|^2$ es una probabilidad.
Teoría de control★★★★★frecuenteRobótica y control
Un sistema lineal es estable si los polos de su función de transferencia están en el semiplano complejo izquierdo.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

Qué depende de él

Conceptos relacionados

Ejercicios

1Cálculo directo

Calcula $(1+i)^8$ usando la forma polar.

Solución

$1 + i = \sqrt 2\, e^{i\pi/4}$ , así que $(1+i)^8 = 2^4 e^{2\pi i} = 16$ .

2Interpretación gráfica

¿Dónde están en el plano las soluciones de $z^6 = 1$ ? ¿Qué figura forman?

Solución

En $e^{2\pi i k/6}$ , $k = 0,\dots,5$ : los vértices de un hexágono regular inscrito en la circunferencia unidad.

¿Qué es?

¿Por qué existe?

Intuición

Fórmulas

Aplicaciones en informática

¿Dónde se utiliza?

⚛ Física y simulación

∿ Señales, multimedia y visión

⊕ Criptografía y seguridad

ψ Computación y física cuántica

3D Gráficos por computador

⚙ Robótica y control

ℒ IA y machine learning

Qué depende de él

Conceptos relacionados

Ejercicios