Fundamentos
Los números, las funciones y las familias de funciones con las que trabaja el resto del cálculo, y cómo las representa un ordenador.
16 conceptos
Conceptos
Números reales
La recta numérica : los racionales más los límites de todas sus sucesiones convergentes. Su propiedad definitoria es la completitud (todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo) y el cálculo entero se apoya en ella.
Números complejos
Números con . Geométricamente son puntos del plano, y multiplicar por es una rotación: por eso son el lenguaje natural de las oscilaciones, las ondas y las señales.
Intervalos
Trozos conexos de la recta real: , , … Los intervalos cerrados y acotados son donde se cumplen los grandes teoremas del cálculo (Bolzano, Weierstrass).
Valor absoluto
es la distancia de a , y la distancia entre dos números. «Cerca de», en todas las definiciones del cálculo, significa un valor absoluto pequeño.
Desigualdades
El cálculo es sobre todo el arte de acotar: probar que un error es menor que , que un término es despreciable, que un algoritmo tarda como mucho tantos pasos. Las herramientas son la desigualdad triangular, la de las medias, Cauchy–Schwarz y Jensen.
Funciones
Una regla que asigna a cada entrada de un conjunto exactamente una salida de un conjunto . El cálculo estudia cómo cambian las salidas cuando cambian las entradas; computar es, literalmente, evaluar funciones.
Dominio y recorrido
Dónde está definida una función y qué valores toma de verdad. Equivocarse con ellos es la versión matemática de un error en tiempo de ejecución: o no tienen valor real.
Composición
Aplicar una función tras otra: . Las redes profundas, los compiladores y los pipelines de datos son composiciones largas, y la regla de la cadena dice cómo derivarlas.
Funciones inversas
deshace : . Existe cuando es inyectiva; su gráfica es la de reflejada en la recta .
Funciones polinómicas
. Se calculan solo con sumas y productos, son lo que mejor evalúa un procesador, y el resto de funciones se aproximan con ellos (Taylor, interpolación).
Funciones racionales
Cocientes de polinomios . Se disparan en los ceros de (polos) y son la forma exacta de las funciones de transferencia de los filtros lineales y de los sistemas de control.
Funciones exponenciales
, y sobre todo : la única función (salvo un factor) que es su propia derivada. Modela todo lo que cambia a un ritmo proporcional a su tamaño: poblaciones, intereses, desintegración radiactiva y algoritmos exponenciales.
Funciones logarítmicas
La inversa de la exponencial: es la potencia a la que hay que elevar para obtener . Los logaritmos convierten productos en sumas, y por eso aparecen en el coste de los algoritmos, en la teoría de la información y en toda función de pérdida basada en la verosimilitud.
Funciones trigonométricas
y son las coordenadas de un punto que gira sobre la circunferencia unidad. Describen toda rotación y toda oscilación y, por tanto, gráficos, robótica, sonido y señales.
Funciones hiperbólicas
, , . Hacen para la hipérbola el papel que y hacen para la circunferencia; es una función de activación clásica.
Transformaciones de funciones
: desplazar, estirar y reflejar una gráfica. Un retardo en una señal, un zoom en una imagen o un cambio de unidades son transformaciones de este tipo.
A dónde lleva esta área en informática
λ Computación científica y algoritmos ★★★★★
- Coma flotante (IEEE 754)★★★★★←Números reales, Dominio y recorrido, Funciones logarítmicas
- Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★←Desigualdades, Funciones polinómicas, Funciones exponenciales, Funciones logarítmicas
- Métodos de Monte Carlo★★★★★←Funciones inversas
- Computación simbólica (CAS)★★★★★←Números reales, Funciones
- Cálculo científico★★★★★←Intervalos