Jacobiana del robot (cinemática de velocidades)

La cinemática directa $p = f(q)$ da la posición de la mano a partir de los ángulos articulares; su jacobiana $J(q) = \partial f/\partial q$ transforma velocidades articulares en velocidades de la mano, $\dot p = J(q)\dot q$, y fuerzas en la mano en pares articulares, $\tau = J^{\mathsf T}F$. Donde $\det J = 0$ el brazo es singular.

Los controladores mandan sobre los motores de las articulaciones, pero las tareas se especifican para la herramienta: «mueve la pinza 1 cm a la izquierda». La jacobiana es el diccionario local entre los dos idiomas, y se recalcula en cada ciclo de control porque depende de la postura.

Brazo de dos eslabones con $\ell_1 = \ell_2 = 1$, $q = (0, \pi/2)$: la mano está en $(1, 1)$ y $J = \begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $\det J = 1$. Girar solo el codo ($\dot q = (0, 1)$) mueve la mano con velocidad $(-1, 0)$: recto hacia la izquierda.

Todo brazo industrial, robot quirúrgico y rig de animación usa jacobianas para el control de velocidad, el de fuerza y la cinemática inversa.