Derivadas de orden superior

¿Qué es?

Fórmulas

$$f''(x) = \frac{\dd^2 f}{\dd x^2}, \qquad f^{(n)} = \big(f^{(n-1)}\big)'$$

$$s(t) \xrightarrow{\ \dd/\dd t\ } v(t) \xrightarrow{\ \dd/\dd t\ } a(t) \xrightarrow{\ \dd/\dd t\ } j(t)$$

posición, velocidad, aceleración, tirón

Aplicaciones en informática

• Cinemática: posición, velocidad, aceleración★★★★★fundamentalRobótica y control

  La aceleración es la segunda derivada de la posición; la ley de Newton $F = ma$ habla de ella.

• Optimización de trayectorias y MPC★★★★★frecuenteRobótica y control

  Las trayectorias de mínimo tirón minimizan $\int \dddot x^{\,2}\,\dd t$ para un movimiento suave del robot.

• Curvas de Bézier y splines★★★★★frecuenteGráficos por computador

  Igualar las segundas derivadas en las uniones ($C^2$) elimina quiebros visibles en fuentes tipográficas y curvas CAD.

Dónde aparece en IA

• Optimización de segundo orden (con hessiano)★★★★★fundamentalIA y machine learning

  Las segundas derivadas miden la curvatura; los métodos tipo Newton las usan para elegir el paso.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

Qué depende de él

• Puntos críticos y criterios de la derivada
• Polinomio de Taylor
• Matriz hessiana
• Curvatura (geometría diferencial básica)