Polinomio de Taylor

El polinomio de grado $n$ que coincide con $f$ y sus $n$ primeras derivadas en un punto $a$. Grado 1 es la recta tangente y grado 2 añade la curvatura; cuanto mayor el grado, más amplia la zona en que aproxima bien. En $a = 0$ se llama polinomio de Maclaurin.

Los polinomios son lo que sabemos calcular: sumas y productos. Las demás funciones ($\sin$, $e^x$, la solución de una ecuación diferencial) no. La idea de Taylor da una forma sistemática de cambiar cualquier función suave por un polinomio cerca de un punto, con una estimación precisa del error.

Igualar más derivadas es igualar la forma cada vez mejor: el valor (misma altura), la primera derivada (misma pendiente), la segunda (misma curvatura), la tercera (mismo cambio de curvatura)… Cada término nuevo corrige lo que el polinomio anterior hacía mal, y las correcciones son más pequeñas cerca de $a$ porque llevan potencias más altas de $(x - a)$. Mueve el deslizador de la demo y mira cómo la aproximación se «despega» de $a$ cada vez más tarde al subir el orden.

Si $f$ es $n$ veces derivable en $a$, su polinomio de Taylor de orden $n$ es

el único polinomio de grado $\le n$ con $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ para $k = 0, \dots, n$. Además $f(x) = T_n(x) + o\big((x - a)^n\big)$ cuando $x \to a$.

Calcula $f(a), f'(a), f''(a), \dots$ y divide la $k$-ésima entre $k!$. Para composiciones suele ser más rápido combinar series conocidas (sustituir, multiplicar, integrar término a término) que derivar una y otra vez. El software lo puede hacer exactamente con aritmética de series de potencias truncadas (modo Taylor), que es como calcula la demo los coeficientes.

Aproximación de ángulo pequeño: $\sin\theta \approx \theta$ (orden 1) convierte la ecuación del péndulo $\ddot\theta = -\frac gL\sin\theta$ en $\ddot\theta = -\frac gL\theta$, resoluble a mano: periodo $2\pi\sqrt{L/g}$. El error en $\theta = 10° \approx 0{,}1745$ es $\theta^3/6 \approx 0{,}0009$, alrededor de un 0,5 %.

El descenso de gradiente es «fíate un poco del modelo de Taylor de orden 1»; el método de Newton es «salta al mínimo del modelo de orden 2». La diferenciación numérica, los resolvedores de EDO (Euler, Runge–Kutta) y su análisis de error se deducen de desarrollos de Taylor. La física linealiza con ellos y las librerías matemáticas parten de ellos.