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Funciones polinómicas

Nivel FundamentalDificultad ★★★★★Concepto⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

p(x)=anxn+⋯+a1x+a0p(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0. Se calculan solo con sumas y productos, son lo que mejor evalúa un procesador, y el resto de funciones se aproximan con ellos (Taylor, interpolación).

Fórmulas

p(x)=a0+x(a1+x(a2+⋯+x an))p(x) = a_0 + x\big(a_1 + x(a_2 + \dots + x\,a_n)\big)
regla de Horner: nn multiplicaciones

Aplicaciones en informática

  • Curvas de Bézier y splines★★★★★fundamentalGráficos por computador

    Las curvas de Bézier y los splines son trozos polinómicos escritos en la base de Bernstein.

  • Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos

    «Tiempo polinómico» O(nk)O(n^k) es la frontera entre problemas tratables e intratables (P).

  • Criptografía de curva elíptica★★★★★indirectaCriptografía y seguridad

    La curva es el conjunto de ceros del polinomio y2−x3−ax−by^2 - x^3 - ax - b, pero sobre un cuerpo finito, donde el cálculo no se aplica.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

ℒ IA y machine learning

3D Gráficos por computador

⚛ Física y simulación

∿ Señales, multimedia y visión

⚙ Robótica y control

⇄ Optimización y sistemas

⊕ Criptografía y seguridad

ψ Computación y física cuántica

Qué depende de él

Ejercicios

1Informática

¿Cuántas multiplicaciones cuesta evaluar p(x)=3x4−2x3+x−7p(x) = 3x^4 - 2x^3 + x - 7 de forma ingenua y con Horner?

Solución

Ingenuamente 4+3+1=84 + 3 + 1 = 8 (calculando cada potencia desde cero). Horner: (((3x−2)x+0)x+1)x−7(((3x - 2)x + 0)x + 1)x - 7, 4 multiplicaciones.

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.

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