Gráficos por computador
Normales, iluminación, curvas, ray tracing y renderizado: las derivadas orientan las superficies, la interpolación rellena los triángulos y las integrales recogen la luz.
8 conceptos
Renderizar una imagen plantea dos preguntas de cálculo por píxel. Geometría: ¿dónde choca el rayo y hacia dónde mira ahí la superficie? La respuesta es una derivada: la normal es el gradiente de una superficie implícita o el producto vectorial de las derivadas parciales de una paramétrica. Luz: ¿cuánta llega a ese punto desde cada dirección? La respuesta es una integral sobre el hemisferio, la ecuación de renderizado, estimada por Monte Carlo. Las curvas y superficies de diseño son polinomios pegados con condiciones de continuidad sobre sus derivadas.
Conceptos
Normales de superficie
El vector unitario perpendicular a una superficie en un punto. Para una superficie implícita es ; para una paramétrica , el producto vectorial normalizado . Todo cálculo de iluminación empieza por ella.
Iluminación y sombreado
Calcular el color de un punto de una superficie a partir de la luz, la normal y el observador. La luz difusa lambertiana es ; los brillos especulares usan . Los valores se interpolan dentro de los triángulos.
Curvas de Bézier y splines
Curvas polinómicas controladas por unos pocos puntos, pegadas con condiciones de continuidad sobre las derivadas (: misma tangente, : misma curvatura). Las tipografías, los trazados SVG, las superficies CAD y las curvas de animación se construyen con ellas.
Generación procedural y ruido
Generar terrenos, nubes y texturas a partir de funciones aleatorias suaves (ruido de Perlin) sumadas en octavas (movimiento browniano fraccionario). Los interpoladores suaves (, con primera y segunda derivadas nulas en los extremos) evitan artefactos visibles de la rejilla; las derivadas analíticas dan normales para iluminar.
Ray tracing (trazado de rayos)
Seguir rayos de luz desde la cámara hacia la escena: resolver intersecciones (raíces de ecuaciones), reflejar y refractar usando la normal, y recurrir. El ray tracing en tiempo real ya está en las GPU de consumo.
La ecuación de renderizado
Kajiya (1986): la luz que sale de un punto es la que emite más la integral, sobre todas las direcciones de llegada, de la luz entrante por la reflectancia del material por un coseno. Una ecuación integral que se resuelve con path tracing de Monte Carlo, el método del renderizado de cine actual.
Campos de distancia con signo y ray marching
Representar una forma por la distancia con signo a su superficie. Los rayos avanzan (siempre es seguro), la superficie es y la normal es . Los SDF neuronales aprenden con una red.
Procesado de mallas (geometría diferencial discreta)
Cálculo sobre mallas de triángulos: un laplaciano discreto (pesos cotangente), curvaturas discretas e integrales sobre caras. Se usa para suavizar modelos escaneados, parametrizar para texturas, deformar personajes y calcular geodésicas.
Las matemáticas sobre las que funciona este dominio
ƒ Fundamentos ★★★★★
∇ Cálculo multivariable ★★★★★
- Superficies y conjuntos de nivel★★★★★→Normales de superficie, Campos de distancia con signo y ray marching
- Gradiente★★★★★→Normales de superficie, Campos de distancia con signo y ray marching
- Curvatura (geometría diferencial básica)★★★★★→Curvas de Bézier y splines, Procesado de mallas (geometría diferencial discreta)
- Integrales múltiples y cambio de variables★★★★★→La ecuación de renderizado