Sistemas dinámicos y caos
El comportamiento a largo plazo de los sistemas que evolucionan: equilibrios, estabilidad, atractores, bifurcaciones y caos, y los límites que imponen a la predicción.
7 conceptos
Conceptos
Sistemas dinámicos
Un estado y una regla que lo hace avanzar: continua () o discreta (). Las preguntas pasan de «encontrar la fórmula» a «¿qué pasa a largo plazo?», y todo algoritmo iterativo, del descenso de gradiente a una red recurrente, es un sistema dinámico discreto.
Espacio de fases
El espacio de todos los estados posibles (para un péndulo: ángulo y velocidad angular). Cada estado inicial traza una trayectoria; dibujarlas todas, el retrato de fases, muestra todo el comportamiento de un vistazo.
Puntos de equilibrio y estabilidad
Un equilibrio es estable si los estados cercanos siguen cerca (y asintóticamente estable si vuelven). Se linealiza: si todos los valores propios de la jacobiana tienen parte real negativa, es asintóticamente estable.
Atractores
Conjuntos a los que se acercan y en los que se quedan las trayectorias cercanas: un punto, una órbita cerrada (ciclo límite) o un «atractor extraño» fractal como la mariposa de Lorenz. El conjunto de estados iniciales que acaban ahí es su cuenca.
Bifurcaciones
Cambios cualitativos de comportamiento cuando un parámetro cruza un valor crítico: un equilibrio pierde la estabilidad, nace un ciclo, los periodos se duplican camino del caos. Los puntos de no retorno en clima y ecología son bifurcaciones.
Caos y sensibilidad a condiciones iniciales
Sistemas deterministas cuyas trayectorias cercanas se separan exponencialmente, con . Solo se puede predecir hasta un horizonte de unos : medir mejor solo compra tiempo de forma logarítmica.
Fractales
Conjuntos con detalle a todas las escalas y dimensión no entera. El conjunto de Mandelbrot (los para los que se mantiene acotado partiendo de ) es el más famoso; los atractores extraños también son fractales.