Puntos de equilibrio y estabilidad

Un equilibrio $f(x^\ast) = 0$ es estable si los estados cercanos siguen cerca (y asintóticamente estable si vuelven). Se linealiza: si todos los valores propios de la jacobiana $J_f(x^\ast)$ tienen parte real negativa, es asintóticamente estable.

Los sistemas reales siempre están perturbados: una ráfaga de viento, un error de redondeo, un sensor con ruido. Un equilibrio solo sirve (un robot erguido, un entrenamiento convergido, una reacción química estable) si las perturbaciones pequeñas se extinguen.

Una bola en el fondo de un cuenco (estable), en lo alto de una cúpula (inestable), en una silla de montar (estable en una dirección, inestable en otra). Cerca del equilibrio el sistema se comporta como su linealización $\dot e = Je$: cada valor propio $\lambda$ es un modo que evoluciona como $e^{\lambda t}$, y decae si $\operatorname{Re}\lambda < 0$.

Para $\dot x = f(x)$ con $f(x^\ast) = 0$ y $f \in C^1$: si $\operatorname{Re}\lambda < 0$ para todo valor propio de $J_f(x^\ast)$, entonces $x^\ast$ es localmente asintóticamente estable; si algún $\operatorname{Re}\lambda > 0$, es inestable. Para aplicaciones $x_{k+1} = g(x_k)$ la condición es $|\lambda| < 1$.

Los ingenieros de control diseñan la realimentación para colocar los valores propios donde quieren (asignación de polos). La teoría de la optimización lee los mínimos de una pérdida como equilibrios estables del flujo de gradiente. Entrenar GAN es notoriamente difícil en parte porque el juego entre generador y discriminador tiene una dinámica rotacional, no estable.