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Números reales

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¿Qué es?

La recta numérica ℝ\R: los racionales más los límites de todas sus sucesiones convergentes. Su propiedad definitoria es la completitud (todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo) y el cálculo entero se apoya en ella.

¿Por qué existe?

Los racionales tienen agujeros: x2=2x^2 = 2 no tiene solución racional y la sucesión 1; 1,4; 1,41; 1,414;…1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\dots se acerca cada vez más a algo que no está ahí. Los límites, las derivadas y las integrales se romperían en esos agujeros. Los reales son el menor sistema numérico que no los tiene.

Definición formal

ℝ\R es un cuerpo ordenado completo. Completitud (axioma del supremo): si A⊂ℝA \subset \R es no vacío y está acotado superiormente, existe una menor cota superior sup⁡A∈ℝ\sup A \in \R.

Fórmulas

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \C
los sistemas numéricos
sup⁡A=s  ⟺  (∀a∈A: a≤s) ∧ (∀ε>0 ∃a∈A: a>s−ε)\sup A = s \iff \big(\forall a \in A:\ a \le s\big) \ \wedge\ \big(\forall \varepsilon > 0\ \exists a \in A:\ a > s - \varepsilon\big)
supremo

¿Por qué importa?

Un ordenador no puede guardar ℝ\R: una palabra de 64 bits solo tiene 2642^{64} valores y casi todo número real necesita infinitos dígitos. Todo el software numérico es una aproximación cuidadosa de este objeto ideal, y la mayoría de los errores numéricos viven en el hueco entre ambos.

Aplicaciones en informática

  • Coma flotante (IEEE 754)★★★★★fundamentalComputación científica y algoritmos

    Los dobles IEEE 754 son un subconjunto finito y no uniforme de ℝ\R; cada operación redondea de vuelta a él.

  • Computación simbólica (CAS)★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos

    Los sistemas de álgebra computacional mantienen 2\sqrt 2 o π\pi exactos como símbolos en vez de aproximarlos.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

ℒ IA y machine learning

3D Gráficos por computador

⚙ Robótica y control

⚛ Física y simulación

∿ Señales, multimedia y visión

⇄ Optimización y sistemas

⊕ Criptografía y seguridad

ψ Computación y física cuántica

Qué depende de él

Ejercicios

1Demostración

Demuestra que 2\sqrt 2 es irracional.

Pista

Supón 2=p/q\sqrt 2 = p/q irreducible y mira la paridad.

Solución

Si p2=2q2p^2 = 2q^2, entonces p2p^2 es par, luego pp es par: p=2kp = 2k. Así 4k2=2q24k^2 = 2q^2, de modo que q2=2k2q^2 = 2k^2 y qq también es par, en contra de que p/qp/q fuera irreducible.

2Informática

En casi todos los lenguajes 0.1 + 0.2 == 0.3 es falso. Explícalo en términos de números reales.

Solución

0,10{,}1, 0,20{,}2 y 0,30{,}3 tienen desarrollos binarios infinitos, así que cada uno se redondea al doble más cercano. El 0,10{,}1 redondeado más el 0,20{,}2 redondeado, redondeado otra vez, cae en un doble distinto del 0,30{,}3 redondeado. Hay que comparar con tolerancia: ∣a−b∣≤εmax⁡(∣a∣,∣b∣)|a - b| \le \varepsilon \max(|a|, |b|).

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