Computación científica y algoritmos
Cómo representan los ordenadores los números, cuánto crecen los algoritmos, cómo manipulan fórmulas y cómo estiman lo que no se puede calcular exactamente.
5 conceptos
Conceptos
Coma flotante (IEEE 754)
La aproximación finita de los números reales que usan todos los ordenadores: con una mantisa de 53 bits en doble precisión. Unas 16 cifras significativas, error relativo de redondeo como mucho , y un zoo de trampas: cancelación, desbordamiento, no asociatividad.
Análisis de algoritmos y complejidad
Predecir cómo crecen los recursos de un algoritmo con el tamaño de la entrada. Sus herramientas son cálculo de sucesiones puro: notación asintótica, límites, sumas e integrales, logaritmos y exponenciales, recurrencias.
Computación simbólica (CAS)
Programas que manipulan fórmulas de forma exacta: simplificar, derivar, integrar, desarrollar en serie, resolver. El cálculo como reescritura de términos sobre árboles de expresiones.
Cálculo científico
La disciplina de convertir modelos matemáticos en números fiables: discretizar, resolver, estimar el error, repetir. La búsqueda de raíces, la cuadratura, los resolvedores de EDO/EDP y su análisis de error son sus herramientas de diario.
Métodos de Monte Carlo
Estimar una integral (una esperanza) promediando una función en puntos aleatorios. El error es sea cual sea la dimensión, lo que lo convierte en el único método práctico para integrales de dimensión alta: renderizado, estadística bayesiana, física, finanzas.
Las matemáticas sobre las que funciona este dominio
ƒ Fundamentos ★★★★★
- Números reales★★★★★→Coma flotante (IEEE 754), Computación simbólica (CAS)
- Funciones logarítmicas★★★★★→Coma flotante (IEEE 754), Análisis de algoritmos y complejidad
- Desigualdades★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Funciones inversas★★★★★→Métodos de Monte Carlo
- Funciones exponenciales★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Funciones★★★★★→Computación simbólica (CAS)
- Dominio y recorrido★★★★★→Coma flotante (IEEE 754)
- Funciones polinómicas★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- +1
lim Sucesiones y límites ★★★★★
- Límites en el infinito★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Órdenes de magnitud★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Notación asintótica (O, o, Ω, Θ)★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad, Cálculo científico, Métodos de Monte Carlo
- Sucesiones★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad, Cálculo científico
- Convergencia de sucesiones★★★★★→Cálculo científico
- Límite de una función★★★★★→Coma flotante (IEEE 754), Análisis de algoritmos y complejidad
- Infinitésimos y equivalencias★★★★★→Coma flotante (IEEE 754)
- Límites infinitos★★★★★→Coma flotante (IEEE 754)
f′ Derivadas ★★★★★
≈ Métodos numéricos ★★★★★
- Error absoluto y relativo★★★★★→Coma flotante (IEEE 754), Cálculo científico
- Condicionamiento★★★★★→Cálculo científico
- Estabilidad numérica★★★★★→Coma flotante (IEEE 754)
- Orden y velocidad de convergencia★★★★★→Cálculo científico
- Método de Newton★★★★★→Coma flotante (IEEE 754), Cálculo científico
- Integración numérica (cuadratura)★★★★★→Cálculo científico
- Método de bisección★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad, Cálculo científico
- Iteración de punto fijo★★★★★→Cálculo científico
∫ Integrales ★★★★★
Σ Series ★★★★★
- Serie geométrica★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Series numéricas★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad, Cálculo científico
- Criterio de la integral★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Criterios de comparación★★★★★→Análisis de algoritmos y complejidad
- Convergencia absoluta y condicional★★★★★→Coma flotante (IEEE 754)
- Series alternadas★★★★★→Coma flotante (IEEE 754)