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Ecuaciones diferenciales

Leyes escritas como tasas de cambio, y cómo resolverlas: exactamente cuando se puede, numéricamente siempre. Toda simulación, de un motor de videojuegos a un modelo climático, es una ecuación diferencial que se integra.

10 conceptos

La naturaleza rara vez dice dónde están las cosas; dice cómo cambian: la fuerza determina la aceleración, el número de infectados determina los nuevos contagios, el error determina la corrección del controlador. Una ecuación diferencial enuncia esa ley; resolverla predice el futuro a partir del presente. Aunque suele ser una asignatura aparte, se incluye aquí completa porque es donde el cálculo se convierte en simulación.

Conceptos

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas, $y' = f(t, y)$ . Sus soluciones son trayectorias: dado dónde empiezas, la ecuación dice adónde vas después; el modelo matemático de todo lo que evoluciona en el tiempo.

Universitario

Problema de valor inicial: existencia y unicidad

Picard–Lindelöf: si $f$ es lipschitziana en $y$ , entonces $y' = f(t, y)$ , $y(t_0) = y_0$ tiene exactamente una solución cerca de $t_0$ . El determinismo, en matemáticas: el presente determina el futuro, y una simulación tiene una única respuesta correcta que aproximar.

UniversitarioTeorema

Ecuaciones de variables separables

$y' = g(t)\,h(y)$ : se pasan todas las $y$ a un lado y se integra, $\int\frac{\dd y}{h(y)} = \int g(t)\,\dd t$ . El crecimiento exponencial y la curva logística se resuelven así.

UniversitarioMétodo

EDO lineales de primer orden

$y' + p(t)\,y = q(t)$ , que se resuelve con un factor integrante $e^{\int p}$ . La respuesta de todo sistema de primer orden (un termómetro, un filtro RC, un condensador cargándose) es una aproximación exponencial al equilibrio.

UniversitarioMétodo

EDO lineales de segundo orden (oscilaciones)

$m\ddot x + c\dot x + kx = F(t)$ : muelles, péndulos, circuitos, suspensiones. Las raíces de la ecuación característica $m r^2 + c r + k = 0$ deciden si el sistema oscila (raíces complejas), vuelve suavemente (raíces reales) o entra en resonancia.

Universitario

Sistemas de EDO

Varias incógnitas acopladas, $\mathbf x' = F(\mathbf x)$ . Para sistemas lineales $\mathbf x' = A\mathbf x$ la solución es $e^{At}\mathbf x_0$ y los valores propios de $A$ deciden el crecimiento, el decaimiento y la oscilación.

Universitario

Método de Euler

El resolvedor numérico de EDO más sencillo: seguir la tangente durante un paso de tiempo pequeño, $y_{k+1} = y_k + h\,f(t_k, y_k)$ . De primer orden (error $O(h)$ ), fácil de desestabilizar y, en su forma semiimplícita, el integrador por defecto de la física de videojuegos.

UniversitarioMétodo

Métodos de Runge–Kutta

Muestrear la pendiente en varios puntos dentro del paso y combinarlas para cancelar términos de error. El RK4 clásico tiene error $O(h^4)$ : con la mitad de paso, el error se divide entre 16. Los pares adaptativos (Dormand–Prince, ode45, solve_ivp) ajustan $h$ automáticamente.

AvanzadoMétodo

Rigidez y métodos implícitos

Los sistemas con escalas de tiempo muy distintas (un muelle rígido sobre un cuerpo lento) obligan a los métodos explícitos a dar pasos diminutos solo para seguir siendo estables. Los métodos implícitos, $y_{k+1} = y_k + h f(y_{k+1})$ , son estables con cualquier paso a cambio de resolver una ecuación en cada paso.

Avanzado

Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)

Ecuaciones para campos que dependen del espacio y del tiempo, con derivadas parciales: difusión del calor, ondas, flujo de fluidos, electromagnetismo, mecánica cuántica. Se resuelven numéricamente discretizando el espacio (diferencias finitas, volúmenes finitos, elementos finitos, métodos espectrales).

Avanzado

A dónde lleva esta área en informática

Conceptos

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Problema de valor inicial: existencia y unicidad

Ecuaciones de variables separables

EDO lineales de primer orden

EDO lineales de segundo orden (oscilaciones)

Sistemas de EDO

Método de Euler

Métodos de Runge–Kutta

Rigidez y métodos implícitos

Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)

A dónde lleva esta área en informática

λ Computación científica y algoritmos ★★★★★

ℒ IA y machine learning ★★★★★

⚙ Robótica y control ★★★★★

⚛ Física y simulación ★★★★★

∿ Señales, multimedia y visión ★★★★★