Rigidez y métodos implícitos

Nivel AvanzadoDificultad ★★★★★Concepto⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Los sistemas con escalas de tiempo muy distintas (un muelle rígido sobre un cuerpo lento) obligan a los métodos explícitos a dar pasos diminutos solo para seguir siendo estables. Los métodos implícitos, $y_{k+1} = y_k + h f(y_{k+1})$ , son estables con cualquier paso a cambio de resolver una ecuación en cada paso.

Fórmulas

$y_{k+1} = y_k + h\,f(t_{k+1}, y_{k+1}), \qquad y' = \lambda y \Rightarrow y_{k+1} = \frac{y_k}{1 - h\lambda}$
Euler implícito: estable para todo $h > 0$ si $\lambda < 0$

Aplicaciones en informática

Motores físicos★★★★★frecuenteFísica y simulación
La tela y los cuerpos blandos usan integración implícita (Baraff–Witkin) para que los muelles rígidos no exploten.
Cálculo científico★★★★★frecuenteComputación científica y algoritmos
La cinética química y la simulación de circuitos (SPICE) dependen de resolvedores para problemas rígidos (BDF, Rosenbrock).

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Cálculo científico★★★★★

⚛ Física y simulación

Motores físicos★★★★★
Motores físicos→Simulación gravitatoria de N cuerpos★★★★★
Motores físicos→Dinámica de fluidos y CFD★★★★★
Motores físicos→Dinámica de fluidos y CFD→Predicción meteorológica y clima★★★★★

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.