Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas, $y' = f(t, y)$. Sus soluciones son trayectorias: dado dónde empiezas, la ecuación dice adónde vas después; el modelo matemático de todo lo que evoluciona en el tiempo.

La mayoría de las leyes científicas son locales en el tiempo: $F = ma$ de Newton, la desintegración radiactiva, la cinética química, el crecimiento de poblaciones. No dan el estado como fórmula de $t$, sino la tasa a la que cambia en función del estado actual. Las EDO son como se escriben esas leyes, y resolverlas es como se hacen predicciones.

Imagina un campo de pendientes: en cada punto $(t, y)$ una flechita con pendiente $f(t, y)$. Una solución es una curva tangente a las flechas en todas partes, como una hoja arrastrada por la corriente. Puntos de partida distintos dan curvas distintas; la condición inicial elige una.

Una EDO de orden $n$: $F\big(t, y, y', \dots, y^{(n)}\big) = 0$. Toda EDO de orden $n$ se puede reescribir como un sistema de primer orden $\mathbf{y}' = \mathbf f(t, \mathbf y)$ con $\mathbf y \in \R^n$ (introduciendo $y_1 = y, y_2 = y', \dots$), la forma que usan los resolvedores numéricos.

Enfriamiento: $T' = -k(T - T_{\text{amb}})$. Solución $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}$. Un disipador de CPU, una taza de café y un circuito RC obedecen la misma ecuación.

Los motores físicos, los simuladores de circuitos (SPICE), los modelos epidemiológicos, la farmacocinética, la mecánica orbital y los sistemas de control son resolvedores de EDO envueltos en conocimiento del dominio. En IA, las neural ODE convierten la propia red en una ecuación diferencial, y los modelos de difusión generan imágenes integrando una hacia atrás en el tiempo.