Método de Euler

El resolvedor numérico de EDO más sencillo: seguir la tangente durante un paso de tiempo pequeño, $y_{k+1} = y_k + h\,f(t_k, y_k)$. De primer orden (error $O(h)$), fácil de desestabilizar y, en su forma semiimplícita, el integrador por defecto de la física de videojuegos.

La mayoría de las EDO no tienen solución cerrada. La idea de Euler (1768): conocemos la pendiente en el punto actual, así que suponemos que no cambia durante un rato corto, avanzamos y repetimos. Convierte cualquier EDO en un bucle.

Caminar con los ojos cerrados abriéndolos cada $h$ segundos para comprobar el rumbo. Con $h$ pequeño sigues el camino de cerca. Con $h$ grande te desvías, y en una órbita circular sales en espiral porque cada paso por la tangente abandona la circunferencia. Error por paso $O(h^2)$, acumulado en $1/h$ pasos: $O(h)$.

Euler explícito: $y_{k+1} = y_k + h\,f(t_k, y_k)$. Error global $\max_k|y(t_k) - y_k| = O(h)$ para $f$ lipschitziana. En la ecuación de prueba $y' = \lambda y$ ($\lambda < 0$) solo es estable si $|1 + h\lambda| \le 1$, es decir, $h \le 2/|\lambda|$.

t, y = t0, y0
mientras t < T:
    y = y + h * f(t, y)
    t = t + h

En mecánica, actualiza primero la velocidad y después la posición con la velocidad nueva (semiimplícito): la energía se mantiene acotada en vez de crecer.

$y' = -2y$, $y(0) = 1$ (exacta $e^{-2t}$), paso $h = 0{,}1$: $y_k = 0{,}8^k$, así que $y(1) \approx 0{,}8^{10} = 0{,}107$ frente a $e^{-2} = 0{,}135$. Con $h = 1{,}5$: $y_k = (-2)^k$; la solución numérica explota mientras la real decae. Eso es inestabilidad numérica.

Todo motor de videojuegos avanza su mundo con una variante de Euler a 60 Hz. Y el algoritmo más importante del aprendizaje automático es el método de Euler disfrazado: el descenso de gradiente es Euler explícito aplicado al flujo de gradiente $\dot\theta = -\nabla L$, con el learning rate como paso de tiempo; por eso su límite de estabilidad $\eta < 2/\lambda_{\max}$ es el límite de estabilidad de Euler.