Funciones

Una regla $f$ que asigna a cada entrada $x$ de un conjunto $A$ exactamente una salida $f(x)$ de un conjunto $B$. El cálculo estudia cómo cambian las salidas cuando cambian las entradas; computar es, literalmente, evaluar funciones.

Para hablar de dependencia: la posición de un planeta depende del tiempo, el coste de un algoritmo del tamaño de la entrada, el error de una red neuronal de sus pesos. Una función empaqueta esa dependencia en un único objeto que se puede sumar, componer, derivar e integrar.

Piensa en una máquina: entra $x$, sale $f(x)$, y siempre la misma salida para la misma entrada. Su gráfica $\{(x, f(x))\}$ es una curva en el plano que toda recta vertical corta como mucho una vez. Casi todo el cálculo consiste en leer propiedades geométricas de esa curva (pendiente, área, curvatura) a partir de la fórmula.

Una función $f : A \to B$ es un subconjunto $G \subset A \times B$ tal que para cada $x \in A$ hay exactamente un $y \in B$ con $(x, y) \in G$; se escribe $y = f(x)$. $A$ es el dominio, $B$ el codominio y $f(A) = \{f(x) : x \in A\}$ el recorrido (imagen).

$f(x) = \sqrt{x - 1}$ tiene dominio $[1, \infty)$ y recorrido $[0, \infty)$. La función softmax del aprendizaje automático, $\operatorname{softmax}(z)_i = e^{z_i} / \sum_j e^{z_j}$, es una función $\R^n \to \R^n$ cuyo recorrido es el conjunto de vectores de probabilidad con entradas positivas.

Una red neuronal entrenada es una función: millones de parámetros que fijan una $f : \R^n \to \R^m$ concreta. Las funciones puras (misma entrada, misma salida, sin efectos secundarios) son además la unidad de razonamiento de la programación funcional y la razón de que cachear y paralelizar sea seguro.