Integral definida

$\int_a^b f(x)\,\dd x$ es el límite de las sumas de Riemann: el área con signo entre la gráfica y el eje o, más en general, el total acumulado por una tasa $f$ en $[a, b]$.

Muchas magnitudes son «tasa × cantidad» solo cuando la tasa es constante: distancia = velocidad × tiempo, masa = densidad × volumen, trabajo = fuerza × distancia. Cuando la tasa varía, se trocea el dominio en partes donde es casi constante, se suma y se toma el límite. La integral es ese procedimiento, y resuelve el problema de acumular una magnitud variable.

Geométricamente: el área bajo la curva, contando como negativa el área bajo el eje. Estadísticamente: $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ es el valor medio de $f$ en $[a,b]$, y por eso una integral se puede estimar promediando $f$ en puntos aleatorios (Monte Carlo). Físicamente: el cambio total que produce una tasa.

$f$ es integrable Riemann en $[a,b]$ si las sumas de Riemann $\sum f(x_i^\ast)\Delta x_i$ convergen al mismo número $I$ para cualquier elección de puntos cuando la norma de la partición $\max\Delta x_i \to 0$; entonces $\int_a^b f = I$. Toda función continua (y toda función acotada con un número finito de discontinuidades) es integrable. Propiedades: linealidad, aditividad respecto del intervalo, monotonía ($f \le g \Rightarrow \int f \le \int g$).

De forma exacta, cuando se conoce una primitiva: regla de Barrow $F(b) - F(a)$ (teorema fundamental). Si no, numéricamente: Riemann, trapecio, Simpson o cuadratura de Gauss en dimensión baja, Monte Carlo en dimensión alta.

Energía de una señal $x(t) = \sin(2\pi t)$ en un segundo: $\int_0^1 \sin^2(2\pi t)\,\dd t = \frac12$. La misma integral, como suma sobre muestras $\frac1N\sum x[n]^2$, es como el software de audio mide el volumen (RMS).

Probabilidades, esperanzas, energías, masas, la luz que llega a un píxel, la pérdida esperada de un modelo: todo son integrales. La mayoría no se pueden calcular exactamente, y buena parte de la ciencia computacional consiste en aproximarlas bien: cuadratura en pocas dimensiones, Monte Carlo en muchas.