Convergencia de sucesiones

$a_n \to L$ significa: por pequeña que sea la tolerancia $\varepsilon$ que elijas, a partir de cierto índice todos los términos están a menos de $\varepsilon$ de $L$. Una sucesión que no converge diverge: hacia infinito, o oscilando para siempre.

«Acercarse cada vez más» no basta ($1/n$ también se acerca cada vez más a $-1$). Hace falta una definición que en principio pudiera comprobar un ordenador: dame cualquier tolerancia y te doy un índice a partir del cual el error se queda por debajo. Esa definición es además exactamente lo que intenta certificar un criterio de parada en el software numérico.

Dibuja una banda horizontal de semianchura $\varepsilon$ alrededor de $L$. Converger significa que, sea cual sea la anchura de la banda, los puntos $(n, a_n)$ acaban entrando en ella y no vuelven a salir. Si estrechas la banda puede que haya que esperar más: ese tiempo de espera $N(\varepsilon)$ es lo que el análisis numérico llama velocidad de convergencia.

Una sucesión es de Cauchy si $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall m, n \ge N: |a_m - a_n| < \varepsilon$. En $\R$ (y solo porque $\R$ es completo) las sucesiones de Cauchy son exactamente las convergentes.

$a_n = \frac{n}{n+1} \to 1$: dado $\varepsilon$, $|a_n - 1| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon$ en cuanto $n > \frac1\varepsilon - 1$. Para $\varepsilon = 10^{-6}$ hace falta $N = 10^6$: convergencia lenta, «sublineal». Compárala con la iteración de Newton para $\sqrt 2$, que llega a $10^{-15}$ en cinco pasos.

Todo algoritmo iterativo (entrenar un modelo, resolver un sistema lineal, calcular el PageRank) es una sucesión que esperamos que converja. Demostrar que lo hace, y a qué velocidad, es como sabemos que merece la pena ejecutarlo; y en la práctica el criterio de Cauchy («para cuando dos iterados seguidos apenas cambien») es la regla de parada más común.