Computación y física cuántica

La mecánica cuántica combina álgebra lineal, cálculo, números complejos y probabilidad: funciones de onda, la ecuación de Schrödinger, la dualidad de Fourier y la evolución unitaria.

4 conceptos

Álgebra lineal  +  Cálculo  +  Números complejos  +  Probabilidad  =  Mecánica cuántica

En la mecánica ondulatoria el estado es una función compleja $\psi(x, t)$ , su evolución una ecuación en derivadas parciales y las probabilidades, integrales de $|\psi|^2$ . La computación cuántica trabaja en dimensión finita, donde el cálculo se retira y manda el álgebra lineal; esa parte está en Math of Quantum.

Conceptos

Función de onda

Una función de valores complejos $\psi(x)$ cuyo módulo al cuadrado es una densidad de probabilidad (regla de Born): la probabilidad de encontrar la partícula en $[a,b]$ es $\int_a^b|\psi|^2\,\dd x$ , y normalizar exige $\int|\psi|^2 = 1$ .

AvanzadoAplicación

Ecuación de Schrödinger

La EDP de la evolución temporal de una función de onda: $i\hbar\,\partial_t\psi = \hat H\psi$ , con el hamiltoniano construido con el laplaciano (energía cinética) y un potencial. Sus operadores (derivadas que actúan sobre funciones) son el punto donde se encuentran el cálculo y el álgebra lineal; en computación cuántica la misma ecuación se convierte en $|\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle$ .

EspecializaciónAplicación

Principio de incertidumbre

Las funciones de onda de posición y de momento son transformadas de Fourier una de la otra, y una función y su transformada no pueden ser estrechas a la vez: $\sigma_x\sigma_p \ge \hbar/2$ . La misma desigualdad limita la resolución tiempo–frecuencia en procesamiento de señales (espectrogramas, radar).

AvanzadoAplicación

Computación cuántica

Computar con cúbits: los estados son vectores unitarios de amplitudes complejas, las puertas son matrices unitarias (exponenciales $e^{-iHt}$ ) y la medida muestrea con probabilidades $|\alpha|^2$ . El algoritmo de Shor se apoya en una transformada cuántica de Fourier. Es sobre todo álgebra lineal; el cálculo entra por las exponenciales complejas, el análisis de Fourier y la física del hardware.

AvanzadoAplicación

Las matemáticas sobre las que funciona este dominio

Conceptos

Función de onda

Ecuación de Schrödinger

Principio de incertidumbre

Computación cuántica

Las matemáticas sobre las que funciona este dominio

ƒ Fundamentos ★★★★★

∮ Cálculo vectorial ★★★★★

ℱ Transformadas ★★★★★

Tₙ Taylor y series de Taylor ★★★★★