Serie de Taylor y de Maclaurin

Haz que el orden tienda a infinito: $f(x) = \sum_{k\ge0}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ siempre que el resto tienda a 0. Las funciones iguales a su serie de Taylor se llaman analíticas; $e^x$, $\sin$, $\cos$ lo son en todo $\R$.

Una serie de Taylor empaqueta una función entera en una sucesión de números (sus coeficientes). Eso convierte el análisis en álgebra: resolver ecuaciones diferenciales, evaluar integrales sin forma cerrada, definir $e^A$ para una matriz $A$ o $e^{i\theta}$ para un número complejo.

Saber todo de $f$ en un único punto (todas sus derivadas) es, para las funciones analíticas, saber $f$ en todas partes dentro del radio de convergencia. No toda función suave es analítica: $e^{-1/x^2}$ (extendida con 0) tiene todas las derivadas nulas en 0, así que su serie de Taylor es $0$, y la función no.

$\int_0^1 e^{-x^2}\,\dd x$ no tiene primitiva elemental, pero integrar término a término $e^{-x^2} = \sum (-1)^k x^{2k}/k!$ da $\sum_k \frac{(-1)^k}{k!(2k+1)} = 1 - \frac13 + \frac1{10} - \frac1{42} + \dots \approx 0{,}746824$: el núcleo de la función de error gaussiana erf.

Las series permiten a un ordenador evaluar funciones trascendentes, a un CAS manipularlas y a físicos e ingenieros construir métodos perturbativos. La exponencial de una matriz $e^{At}$ (la solución de todo sistema lineal de EDO y de toda puerta cuántica $e^{-iHt}$) se define por su serie.