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Teorema de Rolle

Nivel UniversitarioDificultad ★★★★★Teorema⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Si una función suave toma el mismo valor en los dos extremos de un intervalo, en algún punto intermedio su derivada es cero: una pelota lanzada hacia arriba y recogida a la misma altura estuvo quieta un instante.

Enunciado

$f$ continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$ , $f(a) = f(b)$ $\implies \exists c \in (a,b):\ f'(c) = 0$ .

Idea de la demostración

Por Weierstrass, $f$ tiene máximo y mínimo en $[a,b]$ . Si ambos están en los extremos, $f$ es constante y $f' \equiv 0$ . Si no, uno de ellos está en un punto interior $c$ , y en un extremo interior la derivada se anula (los cocientes incrementales cambian de signo).

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Teorema del valor medio→Teorema de Taylor y resto→Cálculo científico★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Función de distribución acumulada→Métodos de Monte Carlo★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Computación simbólica (CAS)★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Criterio de la integral→Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema de Taylor y resto→Coma flotante (IEEE 754)★★★★★

3D Gráficos por computador

Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Función de distribución acumulada→Métodos de Monte Carlo→La ecuación de renderizado★★★★★

⚙ Robótica y control

Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Laplace→Teoría de control★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Laplace→Control PID★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Función de densidad de probabilidad→Filtro de Kalman★★★★★

∿ Señales, multimedia y visión

Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Fourier→Procesamiento de señales★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Fourier→Teorema de muestreo (Nyquist–Shannon)★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Fourier→Transformada rápida de Fourier (FFT)★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Fourier→Telecomunicaciones (modulación, OFDM)★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Fourier→Procesamiento de imagen y visión artificial★★★★★

⇄ Optimización y sistemas

Teorema del valor medio→Continuidad de Lipschitz→Descenso de gradiente→Sistemas de recomendación★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Función de distribución acumulada→Teoría de colas y rendimiento★★★★★

ψ Computación y física cuántica

Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Integrales impropias→Transformada de Fourier→Principio de incertidumbre★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema de Taylor y resto→Serie de Taylor y de Maclaurin→Computación cuántica★★★★★

⚛ Física y simulación

Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos→Simulación gravitatoria de N cuerpos★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos→Dinámica de fluidos y CFD★★★★★
Teorema del valor medio→Teorema fundamental del cálculo→Motores físicos→Dinámica de fluidos y CFD→Predicción meteorológica y clima★★★★★

Qué depende de él

Teorema del valor medio