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Integrales impropias

Nivel UniversitarioDificultad ★★★★★Concepto⌖ Ver en el mapa

¿Qué es?

Integrales sobre intervalos infinitos o de funciones no acotadas, definidas como límites: $\int_a^\infty f = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ . Toda densidad de probabilidad sobre $\R$ integra 1 de esta forma.

Fórmulas

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,\dd x = \sqrt{2\pi}$
la integral de Gauss (normaliza la distribución normal): $\int_1^\infty \frac{\dd x}{x^p} < \infty \iff p > 1$

Dónde aparece en IA

Inferencia bayesiana★★★★★fundamentalIA y machine learning
La evidencia $p(D) = \int p(D\mid\theta)\,p(\theta)\,\dd\theta$ es una integral sobre todo el espacio de parámetros.

¿Dónde se utiliza?

Temas de informática a los que se llega desde aquí, con la cadena de ideas que lleva a ellos:

λ Computación científica y algoritmos

Función de densidad de probabilidad→Función de distribución acumulada→Métodos de Monte Carlo★★★★★
Criterio de la integral→Análisis de algoritmos y complejidad★★★★★

ℒ IA y machine learning

Función de densidad de probabilidad→Inferencia bayesiana★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Modelos generativos★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Esperanza→Función de pérdida★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Estimación por máxima verosimilitud→Regresión logística★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Esperanza→Descenso de gradiente estocástico (SGD)★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Esperanza→Aprendizaje por refuerzo★★★★★
+11

3D Gráficos por computador

Función de densidad de probabilidad→Función de distribución acumulada→Métodos de Monte Carlo→La ecuación de renderizado★★★★★

⚙ Robótica y control

Transformada de Laplace→Teoría de control★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Distribuciones continuas→Filtro de Kalman★★★★★
Transformada de Laplace→Teoría de control→Optimización de trayectorias y MPC★★★★★
Transformada de Laplace→Control PID★★★★★

∿ Señales, multimedia y visión

Transformada de Fourier→Procesamiento de señales★★★★★
Transformada de Fourier→Teorema de muestreo (Nyquist–Shannon)★★★★★
Transformada de Fourier→Transformada rápida de Fourier (FFT)★★★★★
Transformada de Fourier→Telecomunicaciones (modulación, OFDM)★★★★★
Transformada de Laplace→Transformada Z→Filtros digitales★★★★★
Transformada de Fourier→Procesamiento de señales→Compresión multimedia (JPEG, MP3, vídeo)★★★★★
+1

⇄ Optimización y sistemas

Función de densidad de probabilidad→Distribuciones continuas→Teoría de colas y rendimiento★★★★★
Función de densidad de probabilidad→Esperanza→Función de pérdida→Descenso de gradiente→Sistemas de recomendación★★★★★

⊕ Criptografía y seguridad

Transformada de Fourier→Procesamiento de señales→Análisis de canal lateral★★★★★

ψ Computación y física cuántica

Transformada de Fourier→Principio de incertidumbre★★★★★

Qué depende de él

Esta página tiene lo esencial. Un desarrollo más completo (intuición, definición formal, ejemplo resuelto) está en camino.