Teorema del valor medio

En algún punto de $(a, b)$ la tasa de cambio instantánea coincide con la media: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Es el puente de las derivadas a las desigualdades y, por tanto, a todas las cotas de error del análisis numérico.

Las derivadas son locales, y a menudo hacen falta afirmaciones globales: «si la derivada es pequeña en todas partes, la función apenas cambia», «si $f' > 0$ la función crece», «el error de este método numérico es como mucho…». El teorema del valor medio convierte unas en otras.

Dibuja la secante de $(a, f(a))$ a $(b, f(b))$ y desplázala paralela a sí misma: en el último momento en que toca la gráfica, es tangente. Físicamente: si recorriste 120 km en una hora, en algún instante el velocímetro marcó exactamente 120 km/h, que es por lo que te puede multar un radar de tramo.

Resta a $f$ la recta secante: la diferencia $g$ cumple $g(a) = g(b)$, así que Rolle da $g'(c) = 0$, es decir, $f'(c)$ es igual a la pendiente de la secante.

Siempre que un analista numérico demuestra que el error de un método es como mucho $C h^p$, hay un teorema del valor medio (o su hermano mayor, el teorema de Taylor con resto) en algún lugar de la demostración. Las pruebas de convergencia del descenso de gradiente, del método de Newton y de los resolvedores de EDO pasan todas por él.