Recuperar el cálculo universitario · Calculus × Computing

01
Funciones
Una regla $f$ que asigna a cada entrada $x$ de un conjunto $A$ exactamente una salida $f(x)$ de un conjunto $B$ . El cálculo estudia cómo cambian las salidas cuando cambian las entradas; computar es, literalmente, evaluar funciones.
FundamentalFundamentos
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02
Límite de una función
$\lim_{x\to a} f(x) = L$ : los valores $f(x)$ se pueden acercar a $L$ tanto como queramos tomando $x$ lo bastante cerca de $a$ (pero distinto). Las derivadas, las integrales y la continuidad se definen todas como límites.
FundamentalSucesiones y límites
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03
Continuidad
$f$ es continua en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ : cambios pequeños en la entrada producen cambios pequeños en la salida. Continua en un intervalo significa que se puede dibujar la gráfica sin levantar el lápiz.
FundamentalContinuidad
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04
Derivada
$f'(a)$ es la tasa de cambio instantánea de $f$ en $a$ : la pendiente de la recta tangente a la gráfica, definida como el límite de las pendientes de las rectas secantes.
FundamentalDerivadas
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05
Regla de la cadena
La derivada de una composición es el producto de las derivadas: $(g\circ f)'(x) = g'(f(x))\,f'(x)$ . Las tasas de cambio se multiplican a lo largo de una cadena, y la retropropagación es esta regla aplicada, de forma muy eficiente, a una red neuronal.
FundamentalDerivadas
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06
Teorema del valor medio
En algún punto de $(a, b)$ la tasa de cambio instantánea coincide con la media: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ . Es el puente de las derivadas a las desigualdades y, por tanto, a todas las cotas de error del análisis numérico.
UniversitarioTeoremas fundamentales
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07
Polinomio de Taylor
El polinomio de grado $n$ que coincide con $f$ y sus $n$ primeras derivadas en un punto $a$ . Grado 1 es la recta tangente y grado 2 añade la curvatura; cuanto mayor el grado, más amplia la zona en que aproxima bien. En $a = 0$ se llama polinomio de Maclaurin.
UniversitarioTaylor y series de Taylor
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08
Primitivas e integral indefinida
$F$ es una primitiva de $f$ si $F' = f$ ; todas difieren en una constante, y se escribe $\int f(x)\,\dd x = F(x) + C$ . Muchas funciones elementales, como $e^{-x^2}$ , no tienen primitiva elemental.
FundamentalIntegrales
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09
Integral definida
$\int_a^b f(x)\,\dd x$ es el límite de las sumas de Riemann: el área con signo entre la gráfica y el eje o, más en general, el total acumulado por una tasa $f$ en $[a, b]$ .
FundamentalIntegrales
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10
Teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas. Acumular una tasa de cambio devuelve el cambio total: $\int_a^b f'(x)\,\dd x = f(b) - f(a)$ , y la derivada de una cantidad acumulada es la tasa.
FundamentalTeoremas fundamentales
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11
Series numéricas
$\sum_{k=1}^\infty a_k$ es el límite de las sumas parciales $S_n = a_1 + \dots + a_n$ . Que los términos tiendan a cero es necesario pero no suficiente: la serie armónica $\sum 1/k$ diverge, mientras que $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ .
FundamentalSeries
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12
Serie de Taylor y de Maclaurin
Haz que el orden tienda a infinito: $f(x) = \sum_{k\ge0}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ siempre que el resto tienda a 0. Las funciones iguales a su serie de Taylor se llaman analíticas; $e^x$ , $\sin$ , $\cos$ lo son en todo $\R$ .
UniversitarioTaylor y series de Taylor
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13
Funciones de varias variables
$f : \R^n \to \R$ (o $\R^m$ ): muchas entradas, una (o muchas) salidas. Con dos entradas la gráfica es una superficie sobre el plano; con un millón de entradas (los pesos de un modelo) se razona con sus conjuntos de nivel y su gradiente.
UniversitarioCálculo multivariable
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14
Derivadas parciales
$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ : la derivada respecto de una variable, dejando fijas las demás. Cada una responde a «¿cuánto depende la salida de esta entrada?»; en una red neuronal, de este peso.
UniversitarioCálculo multivariable
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15
Gradiente
$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$ : el vector de todas las derivadas parciales. Apunta en la dirección de máximo ascenso, su longitud es esa pendiente máxima y es perpendicular a los conjuntos de nivel. Si caminas en contra bajas lo más deprisa posible.
UniversitarioCálculo multivariable
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