Continuidad

$f$ es continua en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$: cambios pequeños en la entrada producen cambios pequeños en la salida. Continua en un intervalo significa que se puede dibujar la gráfica sin levantar el lápiz.

Las medidas nunca son exactas. Si un modelo es continuo, una entrada un poco equivocada da una salida un poco equivocada, y calcular con aproximaciones tiene sentido. La continuidad es además la hipótesis que desbloquea los teoremas de existencia (Bolzano, Weierstrass) en los que se apoyan la búsqueda de raíces y la optimización.

En $a$ deben cumplirse tres cosas: $f(a)$ está definida, el límite existe y ambos coinciden. Cada fallo es un tipo de discontinuidad: un agujero, un salto o una oscilación salvaje. Geométricamente, al hacer zoom sobre una gráfica continua nunca aparece un hueco.

Las sumas, productos, cocientes (donde el denominador no se anula) y composiciones de funciones continuas son continuas; también lo son los polinomios, $e^x$, $\sin$, $\cos$ y $\ln$ en $(0, \infty)$.

La función escalón $H(x) = 1$ si $x \ge 0$ y $0$ en otro caso es discontinua en 0. El perceptrón la usaba como activación, y esa es justo la razón de que los métodos de gradiente no pudieran entrenar perceptrones multicapa hasta que el escalón se sustituyó por la sigmoide, continua (y derivable).

La continuidad es la promesa mínima de que un método numérico puede funcionar: redondear la entrada no debería cambiar mucho la respuesta. Donde los modelos son discontinuos (fronteras de decisión, colisiones en un motor físico, bordes en una imagen) el software necesita un tratamiento especial.