Continuidad
Funciones sin saltos y los teoremas que garantizan raíces, máximos y mínimos: los resultados de existencia que sostienen la bisección, la optimización y la interpolación.
7 conceptos
Conceptos
Continuidad
es continua en si : cambios pequeños en la entrada producen cambios pequeños en la salida. Continua en un intervalo significa que se puede dibujar la gráfica sin levantar el lápiz.
Discontinuidades
Puntos donde falla la continuidad: evitable (el límite existe pero no coincide con el valor), de salto (límites laterales distintos) y esencial (algún límite lateral no existe).
Continuidad uniforme
Continuidad en la que un mismo sirve para todos los puntos a la vez. En un intervalo cerrado y acotado toda función continua es uniformemente continua (Heine–Cantor), lo que hace posibles resultados de aproximación como el teorema de Weierstrass.
Continuidad de Lipschitz
: la función nunca cambia más deprisa que a ritmo . Cuando el gradiente es -lipschitziano, el descenso de gradiente con paso tiene garantizado bajar la pérdida.
Teorema de Bolzano
Si es continua en y , tienen signos opuestos, entonces tiene una raíz en . Es la garantía que hay detrás del método de bisección.
Teorema del valor intermedio
Una función continua en toma todos los valores entre y . Basta aplicar Bolzano a .
Teorema de Weierstrass (valores extremos)
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un mínimo. Sin él, «encontrar la mejor solución» podría no tener respuesta.