Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)$, $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces $f$ tiene una raíz en $(a, b)$. Es la garantía que hay detrás del método de bisección.

Parte el intervalo por la mitad y quédate con la mitad donde el signo sigue cambiando. Los intervalos encajados se reducen a un punto $c$ (completitud de $\R$), y la continuidad obliga a que $f(c) = 0$. La demostración es el algoritmo de bisección.